Hoe het gebied van regelmatige veelhoeken te vinden

Polygoon definitie

In de geometrie is een polygoon een vorm die bestaat uit rechte lijnen die zijn verbonden om een ​​gesloten lus te creëren. Het heeft ook hoekpunten gelijk aan het aantal zijden. Beide volgende geometrische objecten zijn polygonen.

Regelmatige polygoondefinitie

Als de zijden van de polygoon even groot zijn en de hoeken ook gelijk zijn, staat de polygoon bekend als een regelmatige veelhoek. Hieronder volgen reguliere polygonen.

 

De naam van de veelhoeken eindigt met het achtervoegsel "gon" en het aantal zijden bepaalt het voorste deel van de naam. Het nummer in het Grieks wordt gebruikt als voorvoegsel en het hele woord zegt dat het een polygoon is met zoveel kanten. Hier volgen enkele voorbeelden, maar de lijst gaat verder.

n	veelhoek
2	Digon
3	driehoek (trigon)
4	vierhoek (tetragon)
5	Pentagon
6	zeshoek
7	zevenhoek
8	achthoek
9	negenhoek
10	tienhoek
11	elfhoek
12	Dodecagon

Hoe het gebied van de veelhoeken te vinden: methode

Het gebied van een algemene onregelmatige veelhoek kan niet rechtstreeks uit de formule worden verkregen. We kunnen de polygoon echter in kleinere polygonen scheiden, waarmee we het gebied gemakkelijk kunnen berekenen. Vervolgens geeft de som van die componenten het gebied van de hele polygoon. Overweeg een onregelmatige heptagon zoals hieronder weergegeven.

Het gebied van de heptagon kan worden gegeven als de som van de individuele driehoeken binnen de heptagon. Door het gebied van de driehoeken te berekenen (al tot en met a4).

Totale oppervlakte = a1 + a2 + a3 + a4

Wanneer het aantal zijden hoger is, moeten er meer driehoeken worden toegevoegd, maar het basisprincipe blijft hetzelfde.

Met dit concept kunnen we een resultaat verkrijgen voor het berekenen van het gebied van de reguliere polygonen.

Overweeg de regelmatige zeshoek met de zijden van lengte d, zoals hieronder weergegeven. De zeshoek kan worden gescheiden in zes kleinere congruente driehoeken en deze driehoeken kunnen worden verplaatst naar een parallellogram zoals weergegeven.

Uit het diagram is het duidelijk dat de sommen van het gebied van de kleinere driehoeken gelijk zijn aan het gebied van het parallellogram (rhomboid). Daarom kunnen we het gebied van de zeshoek bepalen met behulp van het gebied van het parallellogram (ruitvormig).

Gebied van het parallellogram = Som van het gebied van de driehoeken = Gebied van het Heptagon

Als we een uitdrukking voor het gebied van de romboïde schrijven, hebben we dat gedaan

Gebied_Rohm = 3dh

Door de voorwaarden te herschikken

Uit de geometrie van de zeshoek kunnen we zien dat 6d de omtrek van de zeshoek is en h de loodrechte afstand van het midden van de zeshoek tot de omtrek is. Daarom kunnen we zeggen,

Gebied van de zeshoek = 12 omtrek van zeshoek × loodrechte afstand tot de omtrek.

Uit de geometrie kunnen we aantonen dat het resultaat kan worden uitgebreid naar veelhoeken met een willekeurig aantal zijden. Daarom kunnen we bovenstaande uitdrukking generaliseren in,

Gebied van de veelhoek = 12 omtrek van de veelhoek × loodrechte afstand tot de omtrek

De loodrechte afstand tot de perimeter vanuit het midden krijgt de naam apothem (h). Dus als een polygoon met n zijden een omtrek p en een apothek heeft, kunnen we de formule krijgen:

Hoe het gebied van regelmatige polygonen te vinden: voorbeeld

1. Een achthoek heeft zijden van 4 cm lang. Zoek het gebied van de Octagon. Om het gebied van de octagon te vinden zijn twee dingen nodig. Dat zijn de omtrek en apothem.

• Zoek de perimeter 

De lengte van een zijde is 4 cm en een achthoek heeft 8 zijden. Daarom, p
Perimeter van de Octagon = 4 × 8 = 32 cm

• Vind de Apothem.

De interne hoeken van de octagon zijn 1350 en de kant van de getrokken driehoek verdelen de hoek. Daarom kunnen we het apothema (h) berekenen met behulp van de trigonometrie.

h = 2tan67.5⁰= 4.828cm

• Daarom is het gebied van de octagon