Hoe de binomiale waarschijnlijkheid te berekenen

Binomiale verdeling is een van de elementaire waarschijnlijkheidsverdelingen voor discrete willekeurige variabelen die worden gebruikt in de kansrekening en statistieken. Het krijgt de naam omdat het de binomiale coëfficiënt heeft die bij elke waarschijnlijkheidsberekening betrokken is. Het weegt het aantal mogelijke combinaties voor elke configuratie.

Overweeg een statistisch experiment waarbij elke gebeurtenis twee mogelijkheden heeft (succes of mislukking) en p kans op succes. Bovendien is elke gebeurtenis onafhankelijk van elkaar. Een enkele gebeurtenis van een dergelijke aard staat bekend als een Bernoulli-onderzoek. Binomiale verdelingen worden toegepast op opeenvolgende opeenvolgingen van Bernoulli-proeven. Laten we nu eens kijken naar de methode om de binomiale waarschijnlijkheid te vinden.

Hoe Binomiale Waarschijnlijkheid Te Vinden

 Als X is het aantal successen van n (eindige hoeveelheid) onafhankelijke Bernoulli-onderzoeken, met de waarschijnlijkheid van succes p, dan is de kans op X successen in het experiment worden gegeven door,

ⁿC_X wordt de binomiale coëfficiënt genoemd.

X wordt gezegd dat het binomiaal is verdeeld met parameters p en n, vaak aangeduid met de notatie Bin (n, p).

Het gemiddelde en de variantie van de binomiale verdeling worden gegeven in termen van de parameters n en p. 

De vorm van de binomiale verdelingskromme is ook afhankelijk van de parameters n en p. Wanneer n is klein, de verdeling is ruwweg symmetrisch voor waarden p≈.5 bereik en sterk scheef wanneer p bevindt zich in 0 of 1 bereik. Wanneer n is groot, de verdeling wordt meer afgevlakt en symmetrisch met merkbare scheefheid wanneer p is in het extreme 0 of 1 bereik. In het volgende diagram geeft de x-as het aantal proeven weer en geeft de y-as de kans aan. 

  Hoe de binomiale waarschijnlijkheid te berekenen - Voorbeelden

1. Als een vooringenomen munt 5 keer achter elkaar wordt gegooid en de kans op succes 0,3 is, vind je de kansen in de volgende voorbeelden.

een) P (X = 5) b) P (X) ≤ 4 c) P (X) < 4

d) Gemiddelde van de verdeling

e) Variantie van de verdeling

Uit de details van het experiment kunnen we afleiden dat de kansverdelingen binomiaal van aard zijn met 5 opeenvolgende en onafhankelijke proeven met succeswaarschijnlijkheid 0,3.Daarom is n = 5 en p = 0,3. 

een) P (X = 5) = kans op het behalen van successen (hoofden) voor alle vijf proeven

     P (X = 5) = ⁵C₅ (0,3)⁵ (1 - 0,3)^{5 - 5} = 1 × (0.3)⁵ X (1) = 0,00243

b) P (X) ≤ 4 = kans om vier of minder successen te behalen tijdens het experiment 

      P (X) ≤ 4 = 1-P (X = 5) = 1-0.00243 = 0.99757

c)  P (X) < 4 = probability of getting less than four successes

      P (X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

Om binomiale waarschijnlijkheid te berekenen om slechts vier successen (P (X) = 4) te krijgen, hebben we,

   P (X = 4) = ⁵C₄ (0,3)⁴ (1 - 0,3)^5-4 = 5 x 0,0081 x (0,7) = 0,00563

   P (X) < 4 = 1 - 0.00563 - 0.00243 = 0.99194

d)  Gemiddelde = np = 5 (0,3) = 1,5

e) Variantie = np (1 - p) = 5 (0,3) (1-0,3) = 1,05