Verticale circulaire bewegingsproblemen oplossen

In dit artikel zullen we kijken naar het oplossen van verticale cirkelbewegingsproblemen. De principes die worden gebruikt om deze problemen op te lossen zijn dezelfde als die worden gebruikt om problemen op te lossen met centripetale versnelling en centripetale kracht. In tegenstelling tot horizontale cirkels variëren de krachten die op verticale cirkels werken als ze rondgaan. We zullen twee gevallen overwegen voor objecten die in verticale cirkels bewegen: wanneer objecten met een constante snelheid bewegen en wanneer ze met verschillende snelheden bewegen.

Verticale circulaire bewegingsproblemen oplossen voor objecten die met een constante snelheid reizen

Als een object met een constante snelheid in een verticale cirkel rijdt, dan is de middelpuntzoekende kracht op het object, blijft hetzelfde. Laten we bijvoorbeeld een object met massa bedenken dat wordt rondgedraaid in een verticale cirkel door het aan een reeks van lengte te bevestigen . Hier dan, is ook de straal voor de cirkelvormige beweging. Er zal een spanning zijn altijd acteren langs het touw, wees naar het midden van de cirkel. Maar de waarde van deze spanning zal constant variëren, zoals we hieronder zullen zien.

Verticale circulaire beweging van een object bij constante snelheid v

Laten we het object bekijken wanneer het zich bovenaan en onderaan zijn cirkelvormige pad bevindt. Zowel het gewicht van het object, , en de centripetale kracht (in het midden van de cirkel gericht) blijft hetzelfde.

Verticale circulaire bewegingsproblemen oplossen - Constante snelheid Objectspanning aan de boven- en onderkant

De spanning is het grootst wanneer het object zich onderaan bevindt. Dit is waar het touw het meest waarschijnlijk breekt.

Verticale circulaire bewegingsproblemen oplossen voor objecten die met een variërende snelheid reizen

Voor deze gevallen houden we rekening met de verandering in energie van het object terwijl het in de cirkel rondreist. Aan de bovenkant heeft het object de meeste potentiële energie. Naarmate het object naar beneden komt, verliest het potentiële energie, die wordt omgezet in kinetische energie. Dit betekent dat het object versnelt als het naar beneden komt.

Stel dat een voorwerp dat aan een touwtje is bevestigd in een verticale cirkel beweegt met variërende snelheid, zodanig dat aan de bovenkant het object zich bevindt net genoeg snelheid om zijn cirkelvormige pad te behouden. Hieronder zullen we uitdrukkingen afgeven voor de minimumsnelheid van dit object aan de bovenkant, de maximale snelheid (wanneer deze onderaan staat) en de spanning van de snaar als deze onderaan is.

Aan de bovenkant is de middelpuntzoekende kracht naar beneden gericht en  . Het object zal hebben net voldoende snelheid om zijn cirkelvormige baan te behouden als de snaar net op het punt staat om slap te worden als hij aan de bovenkant staat. Voor dit geval, de spanning van de snaar is bijna 0. Dit invoegen in de middelpuntzoekende krachtvergelijking, zullen we hebben . Dan, .

Als het object zich onderaan bevindt, is zijn kinetische energie groter. De winst in kinetische energie is gelijk aan het verlies aan potentiële energie. Het object valt door een hoogte van  wanneer het de bodem bereikt, dus de winst in kinetische energie is . Dan,

.

Sinds onze , wij hebben

 Vervolgens kijken we naar de spanning van de snaar onderaan. Hier is de centripetale kracht naar boven gericht. We hebben dan

. Het substitueren , we krijgen .

Verder vereenvoudigend, we eindigen met:

.

Verticale circulaire bewegingsproblemen - Voorbeeld

Zwenkende emmers water boven het hoofd

Een emmer water kan boven water worden gezwaaid zonder dat het water naar beneden valt als het op een voldoende grote snelheid wordt bewogen. Het gewicht  van het water probeert het water naar beneden te trekken; echter, de middelpuntzoekende kracht  probeert het object in het cirkelvormige pad te houden. De middelpuntzoekende kracht zelf is samengesteld uit het gewicht plus de normale reactiekracht die op het water inwerkt. Water blijft zo lang op het ronde pad .

Verticale circulaire bewegingsproblemen oplossen - een emmer water slingeren

Als de snelheid laag is, zodanig , dan wordt niet al het gewicht "opgebruikt" om de middelpuntzoekende kracht te creëren. De neerwaartse versnelling is groter dan de centripetale versnelling, en dus valt het water naar beneden.

Hetzelfde principe wordt gebruikt om voorwerpen tegen vallen te houden wanneer ze door "loop the loop" -bewegingen gaan zoals te zien in bijvoorbeeld achtbaanritten en in airshows waar stuntpiloten hun vliegtuigen in verticale cirkels vliegen, met de vliegtuigen "op reis" naar beneden "wanneer ze de top bereiken.

 voorbeeld 1

De London Eye is een van de grootste reuzenradten op aarde. Het heeft een diameter van 120 m en roteert met een snelheid van ongeveer 1 volledige rotatie per 30 minuten. Gegeven dat het met een constante snelheid beweegt, Find

a) de middelpuntzoekende kracht op een passagier met een massa van 65 kg

b) de reactiekracht vanaf de stoel wanneer de passagier zich aan de bovenkant van de cirkel bevindt

c) de reactiekracht vanaf de stoel wanneer de passagier zich op de bodem van de cirkel bevindt

Verticale circulaire bewegingsproblemen oplossen - Voorbeeld 1

Opmerking: in dit specifieke voorbeeld verandert de reactiekracht zeer weinig, omdat de hoeksnelheid vrij langzaam is. Merk echter op dat de uitdrukkingen die worden gebruikt om de reactiekrachten aan de boven- en onderkant te berekenen, verschillend zijn. Dit betekent dat de reactiekrachten aanzienlijk anders zijn wanneer grotere hoeksnelheden betrokken zijn. De grootste reactiekracht zou aan de onderkant van de cirkel voelbaar zijn.

Verticale circulaire bewegingsproblemen - Voorbeeld - The London Eye

Voorbeeld 2

Een zak bloem met een massa van 0,80 kg wordt in een verticale cirkel rondgedraaid door een streng van 0,70 m lang. De snelheid van de tas varieert tijdens het reizen rond de cirkel.

a) Laat zien dat een minimumsnelheid van 3,2 m s^-1 is voldoende om de zak in de cirkelvormige baan te houden.

b) Bereken de spanning in de snaar wanneer de zak aan de bovenkant van de cirkel staat.

c) Vind de snelheid van de tas op een moment dat de draad onder een hoek van 65 naar beneden is bewogen^O vanaf het begin.

Verticale circulaire bewegingsproblemen oplossen - Voorbeeld 2