Hoe het centrum van de mis te vinden

Center of Mass - Definitie

Het punt waarop de gehele massa van een lichaam of systeem kan worden beschouwd als geconcentreerd, staat bekend als het massamiddelpunt. Met andere woorden, het is het punt waar de totale massa van het lichaam of het systeem hetzelfde effect heeft als geconcentreerd tot een puntmassa.

Berekeningscentrum van massa

Een star lichaam heeft een continue massadistributie. Een systeem van massa's kan een continue of discrete massaverdeling hebben. Om het concept beter te begrijpen, laten we een systeem van twee puntmassa's overwegen m₁ en M₂ gepositioneerd op (x₁,Y₁) en (x₂,Y₂).

Het zwaartepunt van het systeem wordt gegeven door de coördinaten (x_CM,Y_CM) verkregen door de volgende formule. 

Als ook de z-coördinaten worden gegeven, kunnen z-coördinaten van het zwaartepunt volgens dezelfde methode worden verkregen. Het massamidden verdeelt intern de afstand tussen de twee punten en de afstand van CM tot elke massa (r) is in verhouding evenredig met de massa (m). d.w.z. rαl / m. Daarom volgt de volgende relatie voor elke tweepunts massasystemen. r₁/ r₂ = m₂/ m₁. Het resultaat voor twee puntmassa's kan als volgt worden uitgebreid tot vele deeltjessystemen. Als de coördinaten van het deeltje m_ik worden gegeven door (x_ik,Y_ik ) dan worden de coördinaten van het zwaartepunt van het vele deeltjesstelsel gegeven door, 

 

Een continue massadistributie kan worden benaderd als een verzameling van oneindig kleine massa's. Daarom geeft het nemen van de beperkende gevallen van de bovenstaande resultaten de coördinaten van het zwaartepunt.

Als het object een uniforme verdeling van de massa (uniforme dichtheid) en een regulier geometrisch object heeft, ligt het zwaartepunt in het geometrische centrum van het object. Er moet ook worden opgemerkt dat het zwaartepunt (CM) en zwaartepunt (CG) in de meeste situaties als synoniemen worden gebruikt. Ze zijn echter verschillend en vallen alleen samen wanneer het zwaartekrachtveld dat op het lichaam of systeem inwerkt uniform is. Anders worden het zwaartepunt en het zwaartepunt gescheiden.

Dit geldt voor alle objecten in het zwaartekrachtveld van de aarde. Het verschil in de locaties van het zwaartepunt en het zwaartepunt is echter te klein voor kleine objecten, maar voor grote objecten, vooral hoge objecten zoals een raket op het lanceerplatform, is er een aanzienlijke scheiding tussen het massamiddelpunt en zwaartepunt.

Hoe het centrum van de mis te vinden - Voorbeeld

Centre of Mass Voorbeeld 01. De missen m, 3m, 4m en 6m bevinden zich respectievelijk op de coördinaten (2, -6), (4,0), (- 1,3) en (-4, -4). Zoek het zwaartepunt van het systeem. 

Centre of Mass Voorbeeld 02. Maan draait op 385000 km van het centrum van de aarde. Als de massa van de maan 7.3477 × 10 is²² kg of 0.012300 van de massa van de aarde, vind de afstand tot het middelpunt van de massa van het aarde- en maansysteem, vanuit het middelpunt van de aarde.

Van de relatie r₁/ r₂ = m₂/ m₁ we kunnen die r afleiden_Aarde/ r_maan = m_maan/ m_Aarde . Aangezien de baan van de maan 385000 km is en rekening houdend met de beschikbare verhoudingen, is de afstand tot het massamiddelpunt vanaf het middelpunt van de aarde

r_Aarde/ (R_maan+r_Aarde ) × 385000 km = m_maan/ (M_Aarde+m_maan ) × 385000 km.

Vervanging van waarden en vereenvoudiging geeft 0.012300 / (1 + 0.012300) × 385000 km = 4677.96 km (hier wordt de massa van de maan genomen als een fractie van de massa van de aarde, d.w.z._maan/ m_Aarde = 0,0123)

Scheiding is significant (1,25% van de baan van de maan) omdat de maan een aanzienlijke massa heeft, maar voor kleinere objecten zoals een auto, de verhouding m_auto/ m_Aarde is nul voor alle praktische berekeningen.