Verschil tussen lineaire vergelijking en kwadratische vergelijking

Lineaire vergelijking versus kwadratische vergelijking

In de wiskunde zijn algebraïsche vergelijkingen vergelijkingen die worden gevormd met behulp van polynomen. Wanneer expliciet geschreven, zullen de vergelijkingen de vorm P hebben (X) = 0, waar X is een vector van n onbekende variabelen en P is een polynoom. Bijvoorbeeld P (x, y) = x⁴ + Y³ + X²y + 5 = 0 is een algebraïsche vergelijking van twee variabelen die expliciet zijn geschreven. Ook (x + y)³= 3x²y - 3zy⁴ is een algebraïsche vergelijking, maar in impliciete vorm. Het heeft de vorm Q (x, y, z) = x³ + Y³ + 3xy²+3zy⁴= 0, eenmaal expliciet geschreven.

Een belangrijk kenmerk van een algebraïsche vergelijking is zijn graad. Het wordt gedefinieerd als het hoogste vermogen van de termen die voorkomen in de vergelijking. Als een term uit twee of meer variabelen bestaat, wordt de som van de exponenten van elke variabele beschouwd als het vermogen van de term. Merk op dat volgens deze definitie P (x, y) = 0 van graad 4 is, terwijl Q (x, y, z) = 0 van graad 5 is.

Lineaire vergelijkingen en kwadratische vergelijkingen zijn twee verschillende soorten algebraïsche vergelijkingen. De mate van de vergelijking is de factor die hen onderscheidt van de rest van de algebraïsche vergelijkingen.

Wat is een lineaire vergelijking?

Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 1. 4x + 5 = 0 is bijvoorbeeld een lineaire vergelijking van één variabele. x + y + 5z = 0 en 4x = 3w + 5y + 7z zijn lineaire vergelijkingen van respectievelijk 3 en 4 variabelen. Over het algemeen heeft een lineaire vergelijking van n variabelen de vorm m₁X₁ +m₂X₂ +... + m_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Hier, x_ikzijn de onbekende variabelen, m_ik's en b zijn reële getallen waarbij elk van m_ik is niet-nul.

Zo'n vergelijking vertegenwoordigt een hypervlak in de n-dimensionale euclidische ruimte. In het bijzonder vertegenwoordigt een twee variabele lineaire vergelijking een rechte lijn in het Cartesiaanse vlak en een drie variabele lineaire vergelijking vertegenwoordigt een vlak op Euclidean 3-ruimte.

Wat is een kwadratische vergelijking?

Een kwadratische vergelijking is een algebraïsche vergelijking van de tweede graad. X² + 3x + 2 = 0 is een variabele kwadratische vergelijking. X² + Y² + 3x = 4 en 4x² + Y² + 2z² + x + y + z = 4 zijn voorbeelden van kwadratische vergelijkingen van respectievelijk 2 en 3 variabelen.

In het geval van één variabele is de algemene vorm van een kwadratische vergelijking de bijl² + bx + c = 0. Waar a, b, c reële getallen zijn waaruit 'a' niet nul is. De discriminant A = (b² - 4ac) bepaalt de aard van de wortels van de kwadratische vergelijking. De wortels van de vergelijking zullen echt verschillend zijn, echt vergelijkbaar en complex volgens het feit dat A positief, nul en negatief is. De wortels van de vergelijking kunnen eenvoudig worden gevonden met behulp van de formule x = (- b ± √Δ) / 2a.

In het geval van twee variabelen, zou de algemene vorm een ​​bijl zijn² + door² + cxy + dx + ex + f = 0, en dit vertegenwoordigt een kegelsnede (parabool, hyperbool of ellips) in het Cartesiaanse vlak. In hogere dimensies vertegenwoordigt dit type vergelijkingen hypervlakken die bekend staan ​​als kwadrieken.