Verschil tussen lineaire vergelijking en niet-lineaire vergelijking

Lineaire vergelijking versus niet-lineaire vergelijking

In de wiskunde zijn algebraïsche vergelijkingen vergelijkingen, die worden gevormd met behulp van polynomen. Wanneer expliciet geschreven, zullen de vergelijkingen de vorm P hebben (X) = 0, waar X is een vector van n onbekende variabelen en P is een polynoom. Bijvoorbeeld P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 is een algebraïsche vergelijking in twee expliciete variabelen. Ook (x + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ is een algebraïsche vergelijking, maar in impliciete vorm en het heeft de vorm Q (x, y, z) = x³ + Y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, eenmaal expliciet geschreven.

Een belangrijk kenmerk van een algebraïsche vergelijking is zijn graad. Het wordt gedefinieerd als het hoogste vermogen van de termen die voorkomen in de vergelijking. Als een term uit twee of meer variabelen bestaat, wordt de som van de exponenten van elke variabele beschouwd als het vermogen van de term. Merk op dat volgens deze definitie P (x, y) = 0 van graad 5 is, terwijl Q (x, y, z) = 0 van graad 5 is.

Lineaire vergelijkingen en niet-lineaire vergelijkingen zijn een twee-partitie gedefinieerd op de verzameling algebraïsche vergelijkingen. De mate van de vergelijking is de factor die hen van elkaar onderscheidt.

Wat is een lineaire vergelijking?

Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 1. 4x + 5 = 0 is bijvoorbeeld een lineaire vergelijking van één variabele. x + y + 5z = 0 en 4x = 3w + 5y + 7z zijn lineaire vergelijkingen van respectievelijk 3 en 4 variabelen. Over het algemeen heeft een lineaire vergelijking van n variabelen de vorm m₁X₁ + m₂X₂ +... + m_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Hier, x_ikzijn de onbekende variabelen, m_ik's en b zijn reële getallen waarbij elk van m_ik is niet-nul.

Zo'n vergelijking vertegenwoordigt een hypervlak in de n-dimensionale euclidische ruimte. In het bijzonder vertegenwoordigt een twee variabele lineaire vergelijking een rechte lijn in het Cartesiaanse vlak en een drie variabele lineaire vergelijking vertegenwoordigt een vlak op Euclidean 3-ruimte.

Wat is een niet-lineaire vergelijking?

Een kwadratische vergelijking is een algebraïsche vergelijking, die niet lineair is. Met andere woorden, een niet-lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 2 of hoger. X² + 3x + 2 = 0 is een enkele variabele niet-lineaire vergelijking. X² + Y³+ 3xy = 4 en 8yzx² + Y² + 2z² + x + y + z = 4 zijn voorbeelden van niet-lineaire vergelijkingen van respectievelijk 3 en 4 variabelen.

Een tweedegraads niet-lineaire vergelijking wordt een kwadratische vergelijking genoemd. Als de graad 3 is, wordt dit een kubische vergelijking genoemd. De graden 4 en graad 5 vergelijkingen worden respectievelijk quartische en quintische vergelijkingen genoemd. Het is bewezen dat er geen analytische methode bestaat om een ​​niet-lineaire vergelijking van graad 5 op te lossen, en dit geldt ook voor elke hogere graad. Oplosbare niet-lineaire vergelijkingen vertegenwoordigen hyperoppervlakken die geen hypervlakken zijn.