Verschil tussen integratie en sommatie

Integratie versus sommatie
 

In de wiskunde van de middelbare school worden integratie en sommatie vaak gevonden in wiskundige bewerkingen. Ze worden schijnbaar gebruikt als verschillende hulpmiddelen en in verschillende situaties, maar ze delen een zeer hechte relatie.

Meer over sommatie

Sommatie is de bewerking van het toevoegen van een reeks getallen en de bewerking wordt vaak aangeduid met de Griekse letter van hoofdsigma Σ. Het wordt gebruikt om de sommatie af te korten en gelijk aan de som / het totaal van de reeks. Ze worden vaak gebruikt om de reeks weer te geven, die in essentie oneindige reeksen zijn. Ze kunnen ook worden gebruikt om de som van vectoren, matrices of polynomen aan te geven.

De sommatie wordt meestal gedaan voor een reeks waarden die kan worden weergegeven door een algemene term, zoals een reeks met een gemeenschappelijke term. Het startpunt en het eindpunt van de sommatie staan ​​bekend als respectievelijk de ondergrens en de bovengrens van de sommatie.

Bijvoorbeeld, de som van de reeks a₁, een₂, een₃, een₄, … , een_n is een₁ + een₂ + een₃ +... + a_n die gemakkelijk kan worden weergegeven met behulp van de sommatie-notatie als Σⁿ_{i = 1} een_ik; i wordt de index van sommatie genoemd.

Veel variaties worden gebruikt voor de sommatie op basis van de toepassing. In sommige gevallen kunnen de boven- en ondergrens worden opgegeven als een interval of een bereik, zoals Σ_1≤i≤100 een_ik en Σ_{i∈ [1100]} een_ik. Of het kan worden gegeven als een reeks cijfers zoals Σ_i∈P een_ik , waarbij P een gedefinieerde reeks is.

In sommige gevallen kunnen twee of meer sigma-tekens worden gebruikt, maar deze kunnen als volgt worden gegeneraliseerd; Σ_j Σ_k een_jk = Σ_{j, k} een_jk.

Ook volgt de sommatie veel algebraïsche regels. Aangezien de ingesloten bewerking de toevoeging is, kunnen veel van de algemene regels van de algebra worden toegepast op de bedragen zelf en voor de afzonderlijke termen die worden weergegeven door de sommatie.

Meer over integratie

De integratie wordt gedefinieerd als het omgekeerde proces van differentiatie. Maar in zijn geometrische weergave kan het ook worden beschouwd als het gebied dat wordt omsloten door de curve van de functie en de as. Daarom geeft de berekening van het gebied de waarde van een bepaalde integraal zoals weergegeven in het diagram.

Afbeeldingsbron: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

De waarde van de definitieve integraal is eigenlijk de som van de kleine stroken in de curve en de as. Het gebied van elke strook is de hoogte x breedte op het punt op de betreffende as. Breedte is een waarde die we kunnen kiezen, zeggen Δx. En de hoogte is ongeveer de waarde van de functie op het beschouwde punt, zeg maar f(X_ik). Uit het diagram blijkt dat hoe kleiner de stroken zijn hoe beter de stroken binnen het begrensde gebied passen, dus een betere benadering van de waarde.

Dus in het algemeen de definitieve integraal ik, tussen de punten a en b (d.w.z. in het interval [a, b] waar aik ≅ f(X₁) Ax + f(X₂) Δx + ⋯ + f(X_n) Ax, waarbij n het aantal stroken is (n = (b-a) / Ax). Deze sommatie van het gebied kan eenvoudig worden weergegeven met behulp van de sommatie-notatie als ik ≅ Σⁿ_{i = 1} f(X_ik) Ax. Aangezien de benadering beter is wanneer Ax kleiner is, kunnen we de waarde berekenen wanneer Δx → 0. Daarom is het redelijk om te zeggen ik = lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(X_ik) Ax.

Als een generalisatie van het bovenstaande concept, kunnen we de Δx kiezen op basis van het overwogen interval geïndexeerd door i (het kiezen van de breedte van het gebied op basis van de positie). Dan krijgen we

ik= lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(X_ik) Δx_ik = _een∫^b f(X) dx

Dit staat bekend als de Reimann Integral van de functie f(x) in het interval [a, b]. In dit geval staan ​​a en b bekend als de boven- en ondergrens van de integraal. Reimann integral is een basisvorm van alle integratiemethoden.

In essentie is integratie de sommatie van het gebied wanneer de breedte van de rechthoek oneindig klein is.

Wat is het verschil tussen integratie en sommatie?

• Optellen is optellen van een reeks getallen. Gewoonlijk wordt de optelling in deze vorm gegeven Σⁿ_{i = 1} een_ik wanneer de termen in de reeks een patroon hebben en kunnen worden uitgedrukt met een algemene term.

• Integratie is in feite het gebied dat wordt begrensd door de curve van de functie, de as en de boven- en onderlimieten. Dit gebied kan worden gegeven als de som van veel kleinere gebieden in het begrensde gebied.

• Sommatie betreft de discrete waarden met de boven- en ondergrenzen, terwijl de integratie betrekking heeft op ononderbroken waarden.

• Integratie kan worden geïnterpreteerd als een speciale vorm van sommatie.

• Bij numerieke berekeningsmethoden wordt integratie altijd uitgevoerd als een optelling.