Verschil tussen Fourier-reeks en Fourier-transformatie

Fourier-serie versus Fourier-transformatie

Fourier-reeks ontleedt een periodieke functie in een som van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties en amplituden. Fourier-serie is een tak van Fourier-analyse en werd geïntroduceerd door Joseph Fourier. Fourier-transformatie is een wiskundige bewerking die een signaal doorgeeft aan de samenstellende frequenties. Het originele signaal dat in de loop van de tijd is gewijzigd, wordt de tijdsdomeinrepresentatie van het signaal genoemd. De Fourier-transformatie wordt de frequentiedomeinrepresentatie van een signaal genoemd, omdat deze afhankelijk is van de frequentie. Zowel de frequentiedomeinrepresentatie van een signaal als het proces dat wordt gebruikt om dat signaal in het frequentiedomein te transformeren worden de Fourier-transformatie genoemd.

Wat is de Fourier-serie?

Zoals eerder vermeld, Fourier-serie is een uitbreiding van een periodieke functie met behulp van oneindige som van sinussen en cosinussen. Fourier-serie werd oorspronkelijk ontwikkeld bij het oplossen van warmtevergelijkingen, maar later werd ontdekt dat dezelfde techniek kan worden gebruikt om een ​​groot aantal wiskundige problemen op te lossen, met name de problemen waarbij lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten zijn betrokken. De Fourier-serie heeft nu toepassingen op een groot aantal gebieden, waaronder elektrotechniek, trillingsanalyse, akoestiek, optica, signaalverwerking, beeldverwerking, kwantummechanica en econometrie. Fourier-series gebruiken de orthogonaliteitsrelaties van sinus- en cosinusfuncties. De berekening en de studie van de Fourier-reeks staat bekend als de harmonische analyse en is erg handig bij het werken met willekeurige periodieke functies, omdat het toestaat de functie te onderbreken in eenvoudige termen die kunnen worden gebruikt om een ​​oplossing voor het oorspronkelijke probleem te vinden.

Wat is Fourier-transformatie?

Fourier-transformatie definieert een relatie tussen een signaal in het tijdsdomein en zijn representatie in het frequentiedomein. De Fourier-transformatie ontbindt een functie in oscillerende functies. Aangezien dit een transformatie is, kan het oorspronkelijke signaal worden verkregen door de transformatie te kennen, waardoor er geen informatie wordt gecreëerd of verloren gaat in het proces. Studie van de Fourier-reeks levert zelfs een motivatie op voor de Fourier-transformatie. Vanwege de eigenschappen van sinussen en cosinussen is het mogelijk om de hoeveelheid van elke golf terug te verdienen aan de som met behulp van een integraal. Fouriertransformatie heeft enkele basiseigenschappen zoals lineariteit, translatie, modulatie, schaalvergroting, conjugatie, dualiteit en convolutie. Fourier-transformatie wordt toegepast bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen omdat de Fourier-transformatie nauw verwant is met Laplace-transformatie. Fouriertransformatie wordt ook gebruikt in nucleaire magnetische resonantie (NMR) en in andere soorten spectroscopie.

Verschil tussen Fourier-serie en Fourier-transformatie

Fourier-reeks is een uitbreiding van periodiek signaal als een lineaire combinatie van sinussen en cosinussen, terwijl Fouriertransformatie het proces of de functie is die wordt gebruikt om signalen van tijdsdomein naar frequentiedomein om te zetten. Fourier-reeks is gedefinieerd voor periodieke signalen en de Fourier-transformatie kan worden toegepast op aperiodische (voorkomend zonder periodiciteit) signalen. Zoals hierboven vermeld, biedt de studie van de Fourier-reeks in feite motivatie voor de Fourier-transformatie.