Verschil tussen differentiatie en afgeleide

Differentiatie versus afgeleide
 

In differentiaalrekenen zijn afgeleide en differentiatie nauw verwant, maar heel verschillend, en worden ze gebruikt om twee belangrijke wiskundige concepten te vertegenwoordigen die gerelateerd zijn aan functies.

Wat is een derivaat?

Afgeleide van een functie meet de snelheid waarmee de functiewaarde verandert als de invoer verandert. In multi-variabele functies hangt de verandering in de functiewaarde af van de richting van de verandering van de waarden van de onafhankelijke variabelen. Daarom wordt in dergelijke gevallen een specifieke richting gekozen en wordt de functie in die bepaalde richting gedifferentieerd. Dat derivaat wordt het directionele derivaat genoemd. Gedeeltelijke derivaten zijn een speciaal soort directionele derivaten.

Afgeleide van een vector-gewaardeerde functie f kan worden gedefinieerd als de limiet waar het maar eindig bestaat. Zoals eerder vermeld, geeft dit ons de snelheid van toename van de functie f in de richting van de vector u. In het geval van een functie met een enkele waarde, vermindert dit tot de bekende definitie van het derivaat,  

Bijvoorbeeld, is overal differentieerbaar, en de afgeleide is gelijk aan de limiet, , wat gelijk is aan . De afgeleiden van functies zoals   overal bestaan. Ze zijn respectievelijk gelijk aan de functies .                                                                                

Dit staat bekend als de eerste afgeleide. Meestal de eerste afgeleide van de functie f wordt aangegeven door f ⁽¹⁾. Nu deze notatie wordt gebruikt, is het mogelijk om afgeleide producten van hogere orde te definiëren. is de directionele afgeleide van de tweede orde en geeft de n^th afgeleid door f ⁽ⁿ⁾ voor elk n, ,  definieert de n^th derivaat.

Wat is differentiatie?

Differentiatie is het proces van het vinden van de afgeleide van een differentieerbare functie. D-operator aangeduid met D staat voor differentiatie in sommige contexten. Als X is de onafhankelijke variabele dan D ≡ ^d/_dx. De D-operator is een lineaire operator, d.w.z. voor elke twee differentieerbare functies f en g en constant c, volgende eigenschappen vasthouden.

ik.  D(f + g) = D(f) + D (g)

II.  D(cf) = CD(f )

Met behulp van de D-operator kunnen de andere regels die geassocieerd zijn met differentiatie als volgt worden uitgedrukt. D(f g) = D(f ) g +f D(G) , D(^f/_g) = ^{[D(f ) g - f D(G)]}/_g² en D(f  O g) = (D(f) o g) D (g).

Bijvoorbeeld, wanneer F (X) = X²zonde X is gedifferentieerd ten opzichte van X volgens de gegeven regels, zal het antwoord 2 zijnXzonde X -+ X²cosX.