Verschil tussen afgeleide en integraal

Afgeleide versus integrale

Differentiatie en integratie zijn twee fundamentele bewerkingen in Calculus. Ze hebben talloze toepassingen op verschillende gebieden, zoals wiskunde, engineering en natuurkunde. Zowel de afgeleide als de integraal bespreken het gedrag van een functie of gedrag van een fysieke entiteit waar we geïnteresseerd in zijn.

Wat is afgeleide?

Stel dat y = ƒ (x) en x₀ bevindt zich in het domein van ƒ. Dan lim_{Ax → ∞}Δy / Δx = lim_{Δx → ∞}[Ƒ (x₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx wordt de momentane veranderingssnelheid van ƒ bij x genoemd₀, zorg ervoor dat deze limiet eindig bestaat. Deze limiet wordt ook wel de afgeleide van at genoemd en wordt aangegeven met ƒ (x).

De waarde van de afgeleide van een functie f op een willekeurig punt X in het domein van de functie wordt gegeven door lim_{Δx → ∞}[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx. Dit wordt aangeduid met een van de volgende expressies: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_XY.

Voor functies met verschillende variabelen definiëren we gedeeltelijk afgeleide. De gedeeltelijke afgeleide van een functie met meerdere variabelen is de afgeleide ervan met betrekking tot een van die variabelen, ervan uitgaande dat de andere variabelen constanten zijn. Het symbool van de partiële afgeleide is ∂.

Geometrisch kan de afgeleide van een functie worden geïnterpreteerd als de helling van de curve van de functie ƒ (x).

Wat is geïntegreerd?

Integratie of anti-differentiatie is het omgekeerde proces van differentiatie. Met andere woorden, het is het proces van het vinden van een originele functie wanneer de afgeleide van de functie wordt gegeven. Daarom is een integraal of een anti- afgeleide van een functie ƒ (x) als, ƒ (x) =F(x) kan worden gedefinieerd als de functie F(x), voor alle x in het domein van ƒ (x).

De uitdrukking ∫ƒ (x) dx geeft de afgeleide van functie ƒ (x) aan. Als ƒ (x) =F(x), dan ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, waarbij C een constante is, ∫ƒ (x) dx wordt de onbepaalde integraal van ƒ (x) genoemd.

Voor elke functie ƒ, die niet noodzakelijkerwijs niet-negatief is, en wordt gedefinieerd in het interval [a, b], _een∫^bƒ (x) dx wordt de definitieve integraal ƒ op [a, b] genoemd.

De definitieve integraal _een∫^bƒ (x) dx van een functie ƒ (x) kan geometrisch worden geïnterpreteerd als het gebied van het gebied dat wordt begrensd door de curve ƒ (x), de x-as en de lijnen x = a en x = b.