Verschil tussen afgeleide en differentiaal

Afgeleide versus differentiële
 

In differentiaalrekenen zijn derivaat en differentiaal van een functie nauw verwant, maar hebben zeer verschillende betekenissen, en worden gebruikt om twee belangrijke wiskundige objecten te representeren die gerelateerd zijn aan differentieerbare functies.

Wat is een derivaat?

Afgeleide van een functie meet de snelheid waarmee de functiewaarde verandert als de invoer verandert. In multi-variabele functies hangt de verandering in de functiewaarde af van de richting van de verandering van de waarden van de onafhankelijke variabelen. Daarom wordt in dergelijke gevallen een specifieke richting gekozen en wordt de functie in die bepaalde richting gedifferentieerd. Dat derivaat wordt het directionele derivaat genoemd. Gedeeltelijke derivaten zijn een speciaal soort directionele derivaten.

Afgeleide van een vector-gewaardeerde functie f kan worden gedefinieerd als de limiet waar het maar eindig bestaat. Zoals eerder vermeld, geeft dit ons de snelheid van toename van de functie f in de richting van de vector u. In het geval van een functie met een enkele waarde, vermindert dit tot de bekende definitie van het derivaat,  

Bijvoorbeeld, is overal differentieerbaar, en de afgeleide is gelijk aan de limiet, , wat gelijk is aan . De afgeleiden van functies zoals   overal bestaan. Ze zijn respectievelijk gelijk aan de functies .                                                                                

Dit staat bekend als de eerste afgeleide. Meestal de eerste afgeleide van de functie f wordt aangegeven door f ⁽¹⁾. Nu deze notatie wordt gebruikt, is het mogelijk om afgeleide producten van hogere orde te definiëren. is de directionele afgeleide van de tweede orde en geeft de n^th afgeleid door f ⁽ⁿ⁾ voor elk n, ,  definieert de n^th derivaat.

Wat is differentieel?

Differentiaal van een functie vertegenwoordigt de verandering in de functie met betrekking tot veranderingen in de onafhankelijke variabele of variabelen. In de gebruikelijke notatie, voor een bepaalde functie f van een enkele variabele X, het totale verschil van order 1 df is gegeven door, . Dit betekent dat voor een oneindig kleine verandering in X(d.w.z.X), er zal een  f ⁽¹⁾(X) dX veranderen in f.

Met behulp van limieten kan men als volgt eindigen met deze definitie. Neem A aanX is de verandering in X op een willekeurig punt X en Δf is de overeenkomstige verandering in de functie f. Er kan worden aangetoond dat Δf = f ⁽¹⁾(X) ΔX+ ε, waarbij ε de fout is. Nu is de limiet Δx →0^Δf/_ΔX= f ⁽¹⁾(X) (met behulp van de eerder vermelde definitie van derivaat) en dus, Δx →0^ε/_ΔX= 0. Daarom is het mogelijk om te concluderen dat, Δx →0ε = 0. Nu duidt dit op Δx →0 Δf als df en Δx →0 ΔX als dX de definitie van het differentieel wordt rigoureus verkregen. 

Bijvoorbeeld het verschil van de functie is .

In het geval van functies van twee of meer variabelen, wordt het totale verschil van een functie gedefinieerd als de som van de verschillen in de richtingen van elk van de onafhankelijke variabelen. Wiskundig gezien kan dit worden vermeld als .