Verschil tussen hoofdnummers en ordinale getallen

Cardinal vs Ordinal 
 

In ons dagelijks leven kan het gebruik van getallen verschillende vormen aannemen in verschillende situaties. Wanneer we bijvoorbeeld de grootte van een verzameling objecten berekenen, tellen we ze als één, twee, drie enzovoort. Wanneer we iets willen tellen om de positie van de objecten te zien, tellen we ze als eerste, tweede, derde enzovoort. In de eerste vorm van tellen, zijn nummers kardinale nummers. In de tweede vorm van tellen worden de nummers beschouwd als ordinale getallen. In deze context zijn de concepten kardinaal en ordinaal volledig een kwestie van taalkunde; hoofd- en ordinaal zijn bijvoeglijke naamwoorden.

De uitbreiding van het concept naar sets in de wiskunde onthult echter een veel dieper en breder perspectief en kan niet in eenvoudige bewoordingen worden behandeld. In dit artikel zullen we proberen de fundamentele concepten van kardinale en rangtelwoorden in de wiskunde te begrijpen.

Formele definities van hoofd- en rangtelwoorden worden gegeven in de verzamelingenleer. De definities zijn ingewikkeld en om ze in perfecte zin te begrijpen, is achtergrondkennis nodig in de verzamelingenleer. Daarom zullen we ons richten op een paar voorbeelden om de concepten heuristisch te begrijpen.

Overweeg de twee sets 1,3,6,4,5,2 en bus, auto, veerboot, trein, vliegtuig, helikopter. Elke set bevat een reeks elementen en als we het aantal elementen tellen, is het duidelijk dat elk element hetzelfde aantal elementen heeft, wat 6 is. Bij deze conclusie zijn we gekomen met de grootte van één set en vergeleken met een andere met een set aantal. Zo'n nummer wordt een hoofdtelwoord genoemd. Daarom kunnen we zeggen dat een hoofdtelwoord een getal is dat we kunnen gebruiken om de grootte van de eindige sets te vergelijken.

Opnieuw kan de eerste reeks getallen in stijgende volgorde worden gerangschikt, rekening houdend met de grootte van elk element en deze te vergelijken. Tijdens het bestellen worden de nummers beschouwd als kardinalen. Op dezelfde manier kan de verzameling van alle niet-negatieve gehele getallen in een set worden gerangschikt; d.w.z. 0,1,2,3,4, .... Maar in dit geval wordt de grootte van het spel oneindig en is het niet mogelijk om het in termen van ordinalen te geven. Het maakt niet uit hoe groot een nummer is dat je kiest om de grootte van de set te geven, toch blijven er nummers over die je kiest en die niet-negatieve gehele getallen zijn.

Daarom definiëren wiskundigen deze oneindige kardinaal (die de eerste is) als Aleph-0, geschreven als א (eerste letter in het Hebreeuwse alfabet). Formeel is het rangnummer het ordertype van een goed geordende set. Daarom kan het rangnummer van de eindige sets worden gegeven door hoofdtelwoorden, maar voor oneindige sets wordt ordinaal gegeven door transfiniete getallen zoals Aleph-0.

Wat is het verschil tussen kardinaal- en ordonnummers?

• Het hoofdnummer is een getal dat kan worden gebruikt om te tellen of om de grootte van een eindig geordende set te geven. Alle hoofdtelwoorden zijn ordinalen.

• De rangtelwoorden zijn getallen die worden gebruikt om de grootte van zowel eindige als oneindig geordende sets te geven. De grootte van de eindig geordende sets wordt gegeven door de gebruikelijke Hindoe-Arabische algebraïsche cijfers, en de oneindige setgrootte wordt gegeven door transfinite nummers.