Verschil tussen associatief en commutatief

Associatief versus commutatief
 

In ons dagelijks leven moeten we getallen gebruiken wanneer we iets van een niveau willen weten. In de supermarkt, bij het tankstation en zelfs in de keuken moeten we twee of meer hoeveelheden toevoegen, aftrekken en vermenigvuldigen. Vanuit onze praktijk voeren we deze berekeningen vrij moeiteloos uit. We merken nooit dat we ons afvragen waarom we deze bewerkingen op deze specifieke manier doen. Of waarom deze berekeningen niet op een andere manier kunnen worden gedaan. Het antwoord is verborgen in de manier waarop deze bewerkingen worden gedefinieerd in het wiskundige veld van de algebra.

In de algebra wordt een bewerking met twee grootheden (zoals optellen) gedefinieerd als een binaire bewerking. Preciezer gezegd, het is een bewerking tussen twee elementen uit een verzameling en deze elementen worden de 'operand' genoemd. Veel bewerkingen in de wiskunde, inclusief rekenkundige bewerkingen die eerder zijn genoemd en degene die worden aangetroffen in de verzamelingenleer, lineaire algebra en wiskundige logica, kunnen worden gedefinieerd als binaire bewerkingen.

Er zijn een aantal regels met betrekking tot een specifieke binaire bewerking. Associatieve en de commutatieve eigenschappen zijn twee fundamentele eigenschappen van de binaire bewerkingen.

Meer over Commutative Property

Stel dat een of andere binaire bewerking, aangeduid door het symbool ⊗, op de elementen wordt uitgevoerd EEN en B. Als de volgorde van de operanden niet van invloed is op het resultaat van de bewerking, wordt gezegd dat de bewerking commutatief is. dat wil zeggen als EEN ⊗ B = B ⊗ EEN dan is de operatie commutatief.

De toevoeging en vermenigvuldiging van rekenkundige bewerkingen zijn commutatief. De volgorde van de nummers bij elkaar opgeteld of vermenigvuldigd heeft geen invloed op het uiteindelijke antwoord:

EEN + B = B + EEN     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

EEN × B = B × EEN     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Maar in het geval van deling verandert de volgorde in de omgekeerde van de ander, en bij aftrekken geeft de verandering het negatief van de ander. daarom,

EEN - B ≠ B - EEN     ⇒ 4 - 5 = -1 en 5 - 4 = 1

EEN ÷ B ≠ B ÷ EEN     ⇒ 4 ÷ 5 = 0.8 en 5 ÷ 4 = 1.25 [in dit geval EEN,B ≠ 1 en 0]

In feite is de aftrekking anti-commutatief; waar EEN - B = - (B - EEN).

Ook zijn de logische connectieven, de conjunctie, de disjunctie, de implicatie en de gelijkwaardigheid ook commutatief. Waarheidsfuncties zijn ook commutatief. De ingestelde operatie-unie en kruispunt zijn commutatief. Toevoeging en het scalaire product van de vectoren zijn ook commutatief.

Maar de vectoraftrek en vectorproduct is niet commutatief (vectorproduct van twee vectoren is anti-commutatief). De toevoeging van de matrix is ​​commutatief, maar de vermenigvuldiging en de aftrekking zijn niet commutatief. (Vermenigvuldiging van twee matrices kan in speciale gevallen commutatief zijn, zoals de vermenigvuldiging van een matrix met zijn inverse of de identiteitsmatrix, maar zeker zijn matrices niet commutatief als de matrices niet dezelfde grootte hebben)

Meer over associatieve eigendom

Een binaire bewerking wordt associatief genoemd als de volgorde van uitvoering het resultaat niet beïnvloedt wanneer twee of meer exemplaren van de operator aanwezig zijn. Overweeg de elementen A, B en C en de binaire bewerking ⊗. Er wordt gezegd dat de bewerking associatief is als

EEN ⊗ B ⊗ C = EEN ⊗ (B ⊗ C) = (EEN ⊗ B) ⊗ C

Van de elementaire rekenfuncties zijn alleen optellen en de vermenigvuldiging associatief.

EEN + (B + C) = (EEN + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

EEN × (B × C) = (EEN × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

De aftrekking en verdeling zijn niet associatief;

EEN - (B - C) ≠ (EEN - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 en (5 - 4) - 3 = -2

EEN ÷ (B ÷ C) ≠ (EEN ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2.4 en (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0.2666

De logische verbanden disjunctie, conjunctie en gelijkwaardigheid zijn associatief, evenals de ingestelde operatie-unie en intersectie. De toevoeging van de matrix en de vector zijn associatief. Het scalaire product van vectoren is associatief, maar het vectorproduct niet. Matrixvermenigvuldiging is alleen associatief onder speciale omstandigheden.

Wat is het verschil tussen Commutative en Associative Property?

• Zowel de associatieve eigenschap als de commutatieve eigenschap zijn speciale eigenschappen van de binaire bewerkingen, en sommige voldoen eraan en sommige niet.

• Deze eigenschappen zijn te zien in vele vormen van algebraïsche operaties en andere binaire bewerkingen in de wiskunde, zoals de kruising en unie in de verzamelingenleer of de logische connectieven.

• Het verschil tussen commutatief en associatief is dat commutatieve eigenschap aangeeft dat de volgorde van de elementen het eindresultaat niet verandert, terwijl associatieve eigenschapstoestanden, die de volgorde waarin de bewerking wordt uitgevoerd, geen invloed hebben op het uiteindelijke antwoord.