Verschil tussen rationale en irrationele getallen

De term 'getallen' brengt ons in gedachten wat in het algemeen wordt geclassificeerd als positieve gehele getallen groter dan nul. Andere klassen van nummers omvatten hele getallen en fracties, complex en echte getallen en ook negatieve gehele waarden.

De classificaties van nummers verder uitbreiden, komen we tegen rationeel en irrationeel getallen. Een rationeel getal is een getal dat als een breuk kan worden geschreven. Met andere woorden, het rationale getal kan worden geschreven als een verhouding van twee getallen.

Beschouw bijvoorbeeld het nummer 6. Het kan worden geschreven als de verhouding van twee getallen, te weten. 6 en 1, leidend tot de verhouding 6/1. hetzelfde, 2/3, die is geschreven als een breuk, is een rationeel getal.

We kunnen dus een rationeel getal definiëren, als een getal geschreven in de vorm van een breuk, waarbij zowel de teller (het getal bovenaan) als de noemer (het getal aan de onderkant) hele getallen zijn. Per definitie is daarom elk geheel getal ook een rationaal getal.

Een verhouding van twee grote aantallen zoals (129.367.871)/(547.724.863) zou ook een voorbeeld van een rationaal getal zijn om de eenvoudige reden dat zowel de teller als de noemer hele getallen zijn.

Omgekeerd wordt elk getal dat niet in de vorm van een breuk of een ratio kan worden uitgedrukt als irrationeel. Het meest genoemde voorbeeld van een irrationeel nummer is √2 (1.414213...). Een ander populair voorbeeld van een irrationeel getal is de numerieke constante π (3.141592 ... ).

Een irrationeel getal kan worden geschreven als een decimaal, maar niet als een breuk. Irrationele getallen worden niet vaak gebruikt in het dagelijks leven, hoewel ze wel voorkomen op de getallenlijn. Er is een oneindig aantal irrationele getallen tussen 0 en 1 op de getallenlijn. Een irrationeel getal heeft eindeloze niet-herhalende cijfers rechts van de komma.

Merk op dat de vaak geciteerde waarde van 22/7 voor de constante π is in feite slechts een van de waarden van π. Per definitie is de omtrek van een cirkel gedeeld door tweemaal de straal de waarde van π. Dit leidt tot meerdere waarden van π, inclusief maar niet beperkt tot, 333/106, 355/113 en zo verder1.

Alleen de vierkantswortels van de vierkante nummers; d.w.z. de vierkantswortels van de perfecte vierkanten zijn rationeel.

√1= 1 (Rationeel)

√2 (Irrationeel)

√3 (Irrationeel)

√4 = 2 (Rationeel)

√5, √6, √7, √8 (Irrationeel)

√9 = 3 (Rationeel) enzovoort.

Verder merken we op dat alleen de nde wortels van nde krachten zijn rationeel. Dus, de 6e wortel van 64 is rationeel, omdat 64 is een 6e macht, namelijk de 6e Kracht van 2. Maar de 6e wortel van 63 is irrationeel. 63 is niet perfect 6th macht.

Het is onvermijdelijk dat de decimale weergave van irrationals in beeld komt en enkele interessante resultaten oplevert.

Wanneer we een uitdrukking geven rationeel nummer als een decimaal, dan is het decimaal exact (als in 1/5= 0,20) of het zal zijn onnauwkeurig (als in, 1/3 ≈ 0,3333). In beide gevallen is er een voorspelbaar patroon van cijfers. Merk op dat wanneer een irrationeel getal wordt uitgedrukt als een decimaal, dan is het duidelijk onnauwkeurig, omdat het getal anders rationeel zou zijn.

Bovendien zal er geen voorspelbaar patroon van cijfers zijn. Bijvoorbeeld,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Nu komen we met rationele aantallen af ​​en toe tegen 1/11 = 0,0909090.

Het gebruik van zowel het gelijkteken (=) en drie punten (ellips) impliceert dat hoewel het niet mogelijk is om uit te drukken 1/11 precies als een decimaal, kunnen we dit nog steeds benaderen met zoveel decimalen als toegestaan ​​om dichtbij te komen 1/11.

Dus de decimale vorm van 1/11 wordt als onnauwkeurig beschouwd. Op dezelfde manier, de decimale vorm van  ¼ welke 0,25 is, is exact.

Als ze naar de decimale vorm komen voor irrationele getallen, zullen ze altijd onnauwkeurig zijn. Doorgaan met het voorbeeld van √2, wanneer we schrijven √2 = 1.41421356237... (let op het gebruik van ellips), het impliceert meteen dat er geen decimaal voor is √2 zal precies zijn. Verder zal er geen voorspelbaar patroon van cijfers zijn. Met behulp van concepten uit numerieke methoden kunnen we opnieuw rationeel zoveel decimale cijfers benaderen als tot dat moment dat we dichtbij zijn √2.

Elke opmerking over rationele en irrationele getallen kan niet eindigen zonder het verplichte bewijs waarom √2 irrationeel is. Daarbij lichten we ook toe, het klassieke voorbeeld van a bewijs van contradiction.

Stel dat √2 rationeel is. Dit brengt ons ertoe om het te vertegenwoordigen als een verhouding van twee gehele getallen, zeg maar p en q.

√2 = p / q

Onnodig te zeggen, p en q geen gemeenschappelijke factoren hebben, want als er gemeenschappelijke factoren zouden zijn, zouden we ze hebben geannuleerd uit de teller en de noemer.

Aan beide kanten van de vergelijking kwadreren, eindigen we met,

2 = p2 / q2

Dit kan gemakkelijk worden geschreven als,

p2 = 2q2

De laatste vergelijking suggereert dat p2 is zelfs. Dit is alleen mogelijk als p zelf is zelfs. Dit impliceert op zijn beurt dat p2 is deelbaar door 4. Vandaar, q2 en bijgevolg q moet even zijn. Zo p en q zijn beide zelfs wat een tegenspraak is met onze aanvankelijke veronderstelling dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben. Dus, √2 kan niet rationeel zijn. Q.E.D.