Hoe Vectoren vermenigvuldigen

We zullen kijken naar drie manieren om de vectoren te vermenigvuldigen. Eerst zullen we kijken naar de scalaire vermenigvuldiging van vectoren. Vervolgens zullen we kijken naar het vermenigvuldigen van twee vectoren. We zullen twee verschillende manieren leren om vectoren te vermenigvuldigen, met behulp van het scalaire product en het crossproduct. 

Vectoren vermenigvuldigen met een scalair

Wanneer u een vector vermenigvuldigt met een scalair, wordt elke component van de vector vermenigvuldigd met de scalaire waarde.

Stel dat we een vector hebben , dat moet worden vermenigvuldigd met de scalaire waarde . Vervolgens wordt het product tussen de vector en de scalaire waarde als geschreven . Als , dan zou de vermenigvuldiging de lengte van vergroten  met een factor .  Als , dan, in aanvulling op het vergroten van de magnitude van  met een factor , de richting van de vector zou ook worden omgekeerd.

Met betrekking tot vectorcomponenten wordt elke component vermenigvuldigd met de scalaire waarde. Bijvoorbeeld, als een vector , dan .

Voorbeeld

De momentumvector  van een object wordt gegeven door , waar  is de massa van het object en  is de snelheidsvector. Voor een object met een massa van 2 kg met een snelheid van  Mevrouw^-1, vind de momentumvector.

Het momentum is kg m s^-1.

Hoe het scalaire product van twee vectoren te vinden

De scalaire artikel (ook bekend als de punt product) Tussen twee vectoren en is geschreven als . Dit is gedefinieerd als,

waar  is de hoek tussen de twee vectoren als ze van staart tot staart worden geplaatst, zoals hieronder wordt weergegeven:

Het scalaire product tussen twee vectoren levert een scalaire hoeveelheid op. Geometrisch is deze hoeveelheid gelijk aan het product van de grootte van de projectie van één vector aan de andere kant en de grootte van de "andere" vector:

Gebruikmakend van de componenten van vectoren langs het Cartesische vlak, konden we het scalaire product als volgt verkrijgen. Als de vector  en , dan het scalaire product

Voorbeeld

Vector  en . Vind .

Voorbeeld

Het werk is klaar door een kracht , wanneer het een verplaatsing veroorzaakt  want een object wordt gegeven door, . Stel een kracht van   N zorgt ervoor dat een lichaam beweegt, waarvan de verplaatsing onder de kracht is  m. Zoek het werk gedaan door de kracht.

J.

Voorbeeld

Zoek de hoek tussen de twee vectoren  en .

Van de definitie van het scalaire product, .  Hier hebben we  en . 

Dan, 

.

Als twee vectoren loodrecht op elkaar staan, dan is de hoek  tussen hen is 90^O. In dit geval,  en dus wordt het scalaire product 0. In het bijzonder, voor eenheidvectoren in het cartesiaanse coördinatenstelsel, merken we dat op,

Voor parallelle vectoren, de hoek  tussen hen is 0^O. In dit geval,  en het scalaire product wordt gewoon het product van de magnitudes van de vectoren. Met name,

Het scalaire product is commutatief. d.w.z. .

Het scalaire product is ook distributief. d.w.z. . 

Hoe het kruisproduct van twee vectoren te vinden

De kruis artikel (ook bekend als de vector product) Tussen twee vectoren en is geschreven als . Dit is gedefinieerd als,

Het vectorproduct of het kruisproduct geeft, in tegenstelling tot het scalaire product, een vector als antwoord. De bovenstaande formule geeft de grootte van de vector. Om de richting van deze vector, stel je voor dat je een schroevendraaier uit de richting van de eerste vector in de richting van de tweede vector draait. De richting waarin de schroevendraaier "gaat" is de richting van het vectorproduct.

In het bovenstaande diagram is het vectorproduct bijvoorbeeld  zal naar de pagina wijzen, terwijl  zal wijzen op de pagina.

Duidelijk dan, vectorproduct is niet commutatief. Liever, .

Het vectorproduct tussen twee parallelle vectoren is 0. Dit komt omdat de hoek  tussen hen is 0⁰, Het maken van .

Met betrekking tot eenheidsvectoren hebben we dat dan

Ook hebben we

Met betrekking tot componenten wordt het vectorproduct gegeven door,

 

Voorbeeld

Zoek het kruisproduct tussen vectoren  en .

.