Verschil tussen Riemann Integral en Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integratie is een hoofdonderwerp in calculus. In een broder-betekenis kan integratie worden gezien als het omgekeerde proces van differentiatie. Bij het modelleren van real-world problemen, is het gemakkelijk om uitdrukkingen met betrekking tot derivaten te schrijven. In een dergelijke situatie is de integratie vereist om de functie te vinden die de betreffende afgeleide heeft opgeleverd.

Vanuit een andere hoek is integratie een proces, dat het product van een functie ƒ (x) en δx samenvat, waarbij δx de neiging heeft om een ​​bepaalde limiet te zijn. Daarom gebruiken we het integratiesymbool als ∫. Het symbool ∫ is in feite wat we verkrijgen door de letter s uit te rekken om naar de som te verwijzen.

Riemann Integral

Beschouw een functie y = ƒ (x). De integraal van y tussen een en b, waar een en b behoren tot een set x, is geschreven als _b∫^eenƒ (x) dx = [F(X)]_een→b = F(b) - F(een). Dit wordt een welomlijnde integraal van de enkelwaardige en continue functie y = ƒ (x) tussen a en b genoemd. Dit geeft het gebied onder de curve tussen een en b. Dit wordt ook Riemann-integraal genoemd. Riemann-integraal is gemaakt door Bernhard Riemann. Riemann-integraal van een continue functie is gebaseerd op de Jordan-maat, daarom wordt deze ook gedefinieerd als de limiet van de Riemann-sommen van de functie. Voor een echt gewaardeerde functie gedefinieerd op een gesloten interval, de Riemann-integraal van de functie met betrekking tot een partitie x₁, X₂,..., x_n gedefinieerd op het interval [a, b] en t₁, t₂,..., t_n, waar x_ik ≤ t_ik ≤ x_{i + 1} voor elke i ε 1, 2, ..., n, Riemann-som wordt gedefinieerd als Σ_{i = o tot n-1} ƒ (t_ik)(X_{i + 1} - X_ik).

Lebesgue Integral

Lebesgue is een ander type integraal, dat een grote verscheidenheid aan zaken dekt dan de Riemann-integraal. De lebesgue-integraal werd geïntroduceerd door Henri Lebesgue in 1902. Legesugintegratie kan worden beschouwd als een generalisatie van de Riemann-integratie.

Waarom moeten we een andere integraal bestuderen??

Laten we de karakteristieke functie ƒ beschouwen_{A (x) = 0 if, x niet ε A}^{1 als, x ε A} op een set A. Dan eindige lineaire combinatie van karakteristieke functies, die is gedefinieerd als F(x) = Σ a_ikƒE_ik(x) wordt de eenvoudige functie genoemd als E_ik is meetbaar voor elke i. De Lebesgue-integraal van F(x) voorbij E wordt aangegeven door _E∫ ƒ (x) dx. De functie F(x) is niet Riemann integreerbaar. Daarom is de Lebesgue-integraal de Riemann-integraal herschreven, wat enkele beperkingen heeft voor de functies die moeten worden geïntegreerd.