Verschil tussen willekeurige variabelen en waarschijnlijkheidsverdeling

Willekeurige variabelen versus kansverdeling

Statistische experimenten zijn willekeurige experimenten die oneindig kunnen worden herhaald met een bekende set van resultaten. Zowel willekeurige variabelen als waarschijnlijkheidsverdelingen zijn geassocieerd met dergelijke experimenten. Voor elke willekeurige variabele is er een bijbehorende kansverdeling die wordt gedefinieerd door een functie die de cumulatieve verdelingsfunctie wordt genoemd.

Wat is een willekeurige variabele?

Een willekeurige variabele is een functie die numerieke waarden toewijst aan de uitkomsten van een statistisch experiment. Met andere woorden, het is een functie die wordt gedefinieerd vanuit de steekproefruimte van een statistisch experiment in de verzameling reële getallen.

Overweeg bijvoorbeeld een willekeurig experiment waarbij u een munt twee keer omdraait. De mogelijke uitkomsten zijn HH, HT, TH en TT (H-hoofden, T-verhalen). Laat de variabele X het aantal hoofden zijn dat in het experiment is waargenomen. Vervolgens kan X de waarden 0, 1 of 2 aannemen en is het een willekeurige variabele. Hier zal de willekeurige variabele X de set S = HH, HT, TH, TT (de monsterruimte) toewijzen aan de set 0, 1, 2 op een zodanige manier dat HH wordt toegewezen aan 2, HT en TH zijn toegewezen aan 1 en TT is toegewezen aan 0. In functie notatie, kan dit worden geschreven als, X: S → R waarbij X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 en X ( TT) = 0.

Er zijn twee soorten willekeurige variabelen: discreet en continu, dus het aantal mogelijke waarden dat een willekeurige variabele kan aannemen, is hoogstens telbaar of niet. In het vorige voorbeeld is de willekeurige variabele X een discrete willekeurige variabele, omdat 0, 1, 2 een eindige reeks is. Beschouw nu het statistische experiment van het vinden van de gewichten van studenten in een klas. Laat Y de willekeurige variabele zijn die wordt gedefinieerd als het gewicht van een student. Y kan elke echte waarde binnen een bepaald interval gebruiken. Daarom is Y een continue willekeurige variabele.

Wat is een kansverdeling?

Kansverdeling is een functie die de waarschijnlijkheid beschrijft dat een willekeurige variabele bepaalde waarden aanneemt.

Een functie met de naam cumulatieve verdelingsfunctie (F) kan worden gedefinieerd van de verzameling reële getallen tot de verzameling reële getallen als F (x) = P (X ≤ x) (de waarschijnlijkheid dat X kleiner is dan of gelijk is aan x) voor elke mogelijke uitkomst x. Nu kan de cumulatieve verdelingsfunctie van X in het eerste voorbeeld worden geschreven als F (a) = 0, als a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

In het geval van discrete willekeurige variabelen, kan een functie worden gedefinieerd van de verzameling mogelijke uitkomsten tot de set van reële getallen op een zodanige manier dat ƒ (x) = P (X = x) (de waarschijnlijkheid dat X gelijk is aan x) voor elke mogelijke uitkomst x. Deze specifieke functie ƒ wordt de waarschijnlijkheidsmassafunctie van de willekeurige variabele X genoemd. Nu kan de kansmassafunctie van X in het eerste specifieke voorbeeld worden geschreven als ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 en ƒ (x) = 0 anders. De kansmassafunctie samen met de cumulatieve verdelingsfunctie zal dus de waarschijnlijkheidsverdeling van X in het eerste voorbeeld beschrijven.

In het geval van continue willekeurige variabelen kan een functie die de kansdichtheidsfunctie (ƒ) wordt genoemd, worden gedefinieerd als ƒ (x) = dF (x) / dx voor elke x, waarbij F de cumulatieve verdelingsfunctie van de continue willekeurige variabele is. Het is gemakkelijk te zien dat deze functie voldoet aan ∫ƒ (x) dx = 1. De kansdichtheidsfunctie samen met de cumulatieve verdelingsfunctie beschrijft de waarschijnlijkheidsverdeling van een continue willekeurige variabele. De normale verdeling (die een continue kansverdeling is) wordt bijvoorbeeld beschreven met de kansdichtheidsfunctie ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-μ)]²/ (2σ²)).