Verschil tussen Power Series en Taylor Series

Power Series vs Taylor Series

In de wiskunde is een echte reeks een geordende lijst van reële getallen. Formeel is het een functie van de verzameling van natuurlijke getallen in de set van reële getallen. Als een_nis dan^th termijn van een reeks, geven we de volgorde door of door aan een₁, een₂,… ,een_n,.... Overweeg bijvoorbeeld de volgorde 1, ½, ⅓, ... , ¹/_n,.... Het kan worden aangegeven als 1 / n.

Het is mogelijk om een ​​reeks te definiëren met behulp van sequenties. Een reeks is de som van de termen van een reeks. Daarom is er voor elke reeks een bijbehorende reeks en omgekeerd. Als een_n is de volgorde in overweging, dan kan de reeks gevormd door die reeks worden weergegeven als:                                           

 In het bovenstaande voorbeeld is de bijbehorende reeks dus 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Zoals de namen suggereren, is de machtreeks een speciaal type serie en wordt deze veel gebruikt in numerieke analyse en gerelateerde wiskundige modellering. De Taylor-serie is een speciale krachtreeks die een alternatieve en gemakkelijk te manipuleren manier biedt om bekende functies te vertegenwoordigen.

Wat is Power-serie?

Een machtreeks is een reeks van de vorm

    

die convergent is (mogelijk) gedurende een bepaald interval gecentreerd op c. De coëfficiënten een_n kan echte of complexe getallen zijn, en is onafhankelijk van X; d.w.z. de dummy-variabele.

Bijvoorbeeld door in te stellen een_n= 1 voor elk n, en c = 0, de vermogensreeks 1 + x + x²+... + xⁿ+… is verkregen. Het is gemakkelijk om waar te nemen dat wanneer x ε (-1,1), deze vermogensreeks convergeert naar 1 / (1-x).          

Een power-serie komt samen wanneer X = c. De andere waarden van X waarvoor de krachtreeksen samenkomen, zal altijd de vorm aannemen van een open interval gecentreerd op c. Dat is, er zal een waarde 0≤ zijn R ≤ ∞ zodanig dat voor elk X voldoet aan | x-c | ≤R, de vermogensreeks is convergent en voor elk X  bevredigend | x-c |>R, de vermogensreeks is uiteenlopend. Deze waarde R wordt straal van convergentie van de vermogensreeks genoemd (R kan elke echte waarde of positieve oneindigheid aannemen).

Krachtreeksen kunnen worden toegevoegd, afgetrokken, vermenigvuldigd en verdeeld met behulp van de volgende regels. Overweeg de twee krachtreeksen:       

   

                               .

Dan,                 

d.w.z. soortgelijke termen worden bij elkaar opgeteld of afgetrokken. Het is ook mogelijk om de twee machtreeksen te vermenigvuldigen en te verdelen met behulp van de identiteit,

Wat is de Taylor-serie?

Taylor-serie is gedefinieerd voor een functie f(X) die op een interval oneindig te differentiëren is. Uitgaan van f(X) is differentieerbaar op een interval gecentreerd op c. Vervolgens de vermogensreeks die wordt gegeven door

                                                                                                                                

wordt de Taylor-reeksuitbreiding van de functie genoemd f(X) wat betreft c. (Hier f^(N)(c) Duiden de n aan^th afgeleide op X = c). In Numerieke analyse wordt een eindig aantal termen in deze oneindige uitbreiding gebruikt voor het berekenen van waarden op punten waar de reeks convergent is naar de oorspronkelijke functie.

Een functie f(X) zou analytisch zijn in het interval (a, b), als voor elke x ε (a, b) de Taylor-reeks van f(X) convergeert naar de functie f(X). Bijvoorbeeld, 1 / (1-x) is analytisch aan (-1,1), omdat de Taylor-uitbreiding 1 + x + x is²+... + xⁿ+... convergeert naar de functie in dat interval, en e^X  is overal analytisch, sinds de Taylor-serie van e^Xconvergeert naar e^X voor elk reëel getal X.

Wat is het verschil tussen Power-serie en Taylor-serie?

1. Taylor-serie is een speciale klasse van vermogensreeksen die alleen wordt gedefinieerd voor functies die op een open interval oneindig te differentiëren zijn.

2. Taylor-series nemen de speciale vorm aan

        

overwegende dat een vermogensreeks elke reeks van het formulier kan zijn