Verschil tussen orthogonaal en orthonormaal

Orthogonaal versus orthonormaal

In de wiskunde worden de twee woorden orthogonaal en orthonormaal vaak gebruikt samen met een reeks vectoren. Hier wordt de term 'vector' gebruikt in de zin dat het een element van een vectorruimte is - een algebraïsche structuur die wordt gebruikt in lineaire algebra. Voor onze discussie zullen we een binnenproductruimte beschouwen - een vectorruimte V samen met een innerlijk product [] gedefinieerd op V.

Voor een binnenproduct is bijvoorbeeld de set van alle 3-dimensionale positievectoren samen met het gebruikelijke puntproduct.

Wat is orthogonaal?

Een niet-lege subset S van een binnenste productruimte V wordt gezegd orthogonaal te zijn, als en alleen als voor elk onderscheiden u, v in S, [u, v] = 0; d.w.z. het binnenproduct van u en v is gelijk aan de nulscalaire waarde in de binnenste productruimte.

In de set van alle 3-dimensionale positievectoren komt dit bijvoorbeeld overeen met het zeggen dat voor elk afzonderlijk paar positievectoren p en q in S, p en q staan ​​loodrecht op elkaar. (Onthoud dat het binnenproduct in deze vectorruimte het puntproduct is.Ook is het puntproduct van twee vectoren gelijk aan 0 als en alleen als de twee vectoren loodrecht op elkaar staan.)

Overweeg de set S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), wat een subset van de 3-dimensionale positievectoren is. Merk op dat (0,2,0) (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Vandaar de set S is orthogonaal. In het bijzonder wordt gezegd dat twee vectoren orthogonaal zijn als hun binnenproduct 0 is. Daarom is elk paar vectoren in Sis orthogonaal.

Wat is orthonormaal?

Een niet-lege subset S van een binnenste productruimte V er wordt gezegd dat het orthonormaal is als en alleen als S is orthogonaal en voor elke vector u in S, [u, u] = 1. Het is daarom duidelijk dat elke orthonormale set orthogonaal is, maar niet omgekeerd.

In de set van alle 3-dimensionale positievectoren komt dit bijvoorbeeld overeen met het zeggen dat voor elk afzonderlijk paar positievectoren p en q in S, p en q staan ​​loodrecht op elkaar en voor elk p in S, | P | = 1. Dit komt omdat de conditie [p, p] = 1 vermindert tot p.p = | p p || |cos0 = | P |²= 1, wat gelijk is aan | P | = 1. Daarom kunnen we, gegeven een orthogonale set, altijd een overeenkomstige orthonormale set vormen door elke vector te delen door zijn grootte.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) is een orthonormale subset van de set van alle 3-dimensionale positievectoren. Het is gemakkelijk te zien dat het werd verkregen door elk van de vectoren in de set te delen S, door hun magnitudes.

Wat is het verschil tussen orthogonaal en orthonormaal?

• Een niet-lege subset S van een binnenste productruimte V wordt gezegd orthogonaal te zijn, als en alleen als voor elk afzonderlijk u, v in S, [u, v] = 0. Het is echter orthonormaal, als en alleen als een extra voorwaarde - voor elke vector u in S, [u, u] = 1 is tevreden.
• Elke orthonormale set is orthogonaal maar niet andersom.
• Elke orthogonale set komt overeen met een unieke orthonormale set, maar een orthonormale set kan overeenkomen met veel orthogonale sets.