Verschil tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen

Lineaire versus niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
 

Een vergelijking die ten minste één differentiële coëfficiënt of afgeleide van een onbekende variabele bevat, staat bekend als een differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking kan lineair of niet-lineair zijn. De reikwijdte van dit artikel is om uit te leggen wat lineaire differentiaalvergelijking is, wat is niet-lineaire differentiaalvergelijking en wat is het verschil tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.

Sinds de ontwikkeling van calculus in de 18e eeuw door de wiskundigen zoals Newton en Leibnitz, heeft differentiaalvergelijking een belangrijke rol gespeeld in het verhaal van de wiskunde. Differentiaalvergelijkingen zijn van groot belang in de wiskunde vanwege hun aantal toepassingen. Differentiaalvergelijkingen vormen de kern van elk model dat we ontwikkelen om elk scenario of evenement in de wereld uit te leggen, of het nu gaat om fysica, techniek, chemie, statistiek, financiële analyse of biologie (de lijst is eindeloos). In feite, totdat calculus een gevestigde theorie werd, waren de juiste wiskundige hulpmiddelen niet beschikbaar om de interessante problemen in de natuur te analyseren.

Resulterende vergelijkingen van een specifieke toepassing van calculus kunnen zeer complex zijn en soms niet oplosbaar. Er zijn er echter een die we kunnen oplossen, maar die er hetzelfde en verwarrend kunnen uitzien. Daarom zijn differentiaalvergelijkingen voor eenvoudiger identificatie ingedeeld naar hun wiskundig gedrag. Lineair en niet-lineair is zo'n categorisatie. Het is belangrijk om het verschil tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen te identificeren.

Wat is een lineaire differentiaalvergelijking?

Stel dat f: X → Y en f (x) = y, a differentiaalvergelijking zonder niet-lineaire termen van de onbekende functie Y en zijn derivaten staan ​​bekend als een lineaire differentiaalvergelijking.

Het legt de voorwaarde op dat y geen hogere indexvoorwaarden kan hebben zoals y², Y³,... en veelvouden van derivaten zoals 

Het kan ook geen niet-lineaire termen zoals Sin bevatten Y, e^{Y-2 ^}, of ln Y. Het neemt de vorm aan, 

waar Y en g zijn functies van X. De vergelijking is een differentiaalvergelijking van de orde n, welke de index is van de hoogste orde afgeleide.

In een lineaire differentiaalvergelijking is de differentiële operator een lineaire operator en vormen de oplossingen een vectorruimte. Als gevolg van de lineaire aard van de oplossingsset is een lineaire combinatie van de oplossingen ook een oplossing voor de differentiaalvergelijking. Dat wil zeggen, als Y₁ en Y₂ zijn dan oplossingen van de differentiaalvergelijking C₁ Y₁+ C₂ Y₂ is ook een oplossing.

De lineariteit van de vergelijking is slechts één parameter van de classificatie en kan verder worden onderverdeeld in homogene of niet-homogene en gewone of partiële differentiaalvergelijkingen. Als de functie is g= 0 dan is de vergelijking een lineaire homogene differentiaalvergelijking. Als f is een functie van twee of meer onafhankelijke variabelen (f: X, T → Y) en f (x, t) = y , dan is de vergelijking een lineaire partiële differentiaalvergelijking.

Oplossingsmethode voor de differentiaalvergelijking is afhankelijk van het type en de coëfficiënten van de differentiaalvergelijking. Het gemakkelijkste geval ontstaat wanneer de coëfficiënten constant zijn. Klassiek voorbeeld voor deze zaak is de tweede bewegingswet van Newton en de verschillende toepassingen ervan. De tweede wet van Newton produceert een tweedegraads lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten.

Wat is een niet-lineaire differentiaalvergelijking?

Vergelijkingen die niet-lineaire termen bevatten, staan ​​bekend als niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.

 

Alle bovenstaande zijn niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen zijn moeilijk op te lossen, daarom is nader onderzoek vereist om een ​​juiste oplossing te verkrijgen. In het geval van partiële differentiaalvergelijkingen hebben de meeste vergelijkingen geen algemene oplossing. Daarom moet elke vergelijking onafhankelijk worden behandeld.

Navier-Stokes-vergelijking en Euler's vergelijking in vloeistofdynamica, Einstein's veldvergelijkingen van algemene relativiteit zijn bekende niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen. Soms kan de toepassing van Lagrange-vergelijking op een variabel systeem resulteren in een systeem van niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen.

Wat is het verschil tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen?

• Een differentiaalvergelijking, die alleen de lineaire termen van de onbekende of afhankelijke variabele en zijn derivaten heeft, staat bekend als een lineaire differentiaalvergelijking. Het heeft geen term met de afhankelijke variabele van index hoger dan 1 en bevat geen enkel veelvoud van zijn derivaten. Het kan geen niet-lineaire functies hebben zoals trigonometrische functies, exponentiële functies en logaritmische functies met betrekking tot de afhankelijke variabele. Elke differentiaalvergelijking die bovengenoemde termen bevat, is een niet-lineaire differentiaalvergelijking.

• Oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen creëren vectorruimte en de differentiële operator is ook een lineaire operator in vectorruimte.

• Oplossingen voor lineaire differentiaalvergelijkingen zijn relatief eenvoudiger en algemene oplossingen bestaan. Voor niet-lineaire vergelijkingen bestaat de algemene oplossing in de meeste gevallen niet en kan de oplossing probleemspecifiek zijn. Dit maakt de oplossing veel moeilijker dan de lineaire vergelijkingen.