Verschil tussen gedefinieerde en onbepaalde integralen

Bepaalde versus onbepaalde integralen

Calculus is een belangrijke tak van de wiskunde, en differentiatie speelt een cruciale rol in calculus. Het inverse proces van de differentiatie staat bekend als integratie, en de inverse staat bekend als de integraal, of simpel gezegd, de inverse van differentiatie geeft een integraal. Op basis van de resultaten die ze produceren, zijn de integralen verdeeld in twee klassen; definitieve en onbepaalde integralen.

Meer over onbepaalde integralen

Onbepaalde integraal is meer een algemene vorm van integratie en kan worden geïnterpreteerd als het anti- derivaat van de beschouwde functie. Stel dat differentiatie van F f geeft, en de integratie van f geeft de integraal weer. Het wordt vaak geschreven als F (x) = ∫ƒ (x) dx of F = ∫ƒ dx waarbij zowel F als ƒ functies van x zijn en F differentieerbaar. In de bovenstaande vorm wordt het een Reimann-integraal genoemd en de resulterende functie begeleidt een willekeurige constante. Een onbepaalde integraal produceert vaak een familie van functies; daarom is de integraal onbepaald.

Integrals en integratieprocessen vormen de kern van het oplossen van differentiaalvergelijkingen. In tegenstelling tot de differentiatie volgt integratie echter niet altijd een duidelijke en standaardroutine; soms kan de oplossing niet expliciet worden uitgedrukt in termen van elementaire functie. In dat geval wordt de analytische oplossing vaak gegeven in de vorm van een onbepaalde integraal.

Meer over Definite Integrals

Bepaalde integralen zijn de gewaardeerde tegenhangers van onbepaalde integralen, waarbij het integratieproces feitelijk een eindig aantal oplevert. Het kan grafisch worden gedefinieerd als het gebied begrensd door de curve van de functie ƒ binnen een bepaald interval. Wanneer de integratie wordt uitgevoerd binnen een bepaald interval van de onafhankelijke variabele, produceert de integratie een definitieve waarde die vaak wordt geschreven als _een∫^bƒ (x) dx of _een∫^b ƒdx.

De onbepaalde integralen en definitieve integralen zijn met elkaar verbonden via de eerste fundamentele stelling van calculus, en dat maakt het mogelijk de bepaalde integraal te berekenen met behulp van de onbepaalde integralen. De stelling stelt _een∫^bƒ (x) dx = F (b) -F (a) waarbij zowel F als ƒ functies van x zijn en F differentieerbaar in het interval (a, b). Rekening houdend met het interval staan ​​a en b respectievelijk bekend als de onderlimiet en de bovengrens.

In plaats van alleen te stoppen met echte functies, kan de integratie worden uitgebreid naar complexe functies en die integralen worden contourintegralen genoemd, waarbij ƒ een functie is van de complexe variabele.

Wat is het verschil tussen Definite en Indefinite Integrals?

Onbepaalde integralen vertegenwoordigen het anti-afgeleide van een functie en vaak een familie van functies in plaats van een definitieve oplossing. In definitieve integralen geeft de integratie een eindig aantal.

Onbepaalde integralen associëren een willekeurige variabele (vandaar de familie van functies) en bepaalde integralen hebben geen arbitraire constante, maar een bovengrens en een ondergrens van integratie.

Onbepaalde integraal geeft meestal een algemene oplossing voor de differentiaalvergelijking.