Verschil tussen rekenkundige volgorde en geometrische volgorde

Arithmetic Sequence vs Geometric Sequence
 

De studie van cijferpatronen en hun gedrag is een belangrijke studie op het gebied van de wiskunde. Vaak zijn deze patronen in de natuur te zien en helpen ons hun gedrag in wetenschappelijk opzicht te verklaren. Rekenkundige reeksen en geometrische reeksen zijn twee van de basispatronen die in getallen voorkomen en vaak worden aangetroffen in natuurlijke verschijnselen.

De reeks bestaat uit een reeks geordende getallen. Het aantal elementen in de reeks kan eindig of oneindig zijn.

Meer over Arithmetic Sequence (Arithmetric Progression)

Een rekenkundige reeks wordt gedefinieerd als een reeks getallen met een constant verschil tussen elke opeenvolgende term. Het is ook bekend als rekenkundige progressie.

Arithmetic Sequnece ⇒ a₁, een₂, een_3, een₄,… , een_n ; waar een₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, enzovoort.

Als de beginperiode een is₁ en het gemeenschappelijke verschil is d, dan de n^th termijn van de reeks wordt gegeven door;

een_n = a₁ + (N-1) d

Door het bovenstaande resultaat verder te nemen, de n^th termijn kan ook worden gegeven als;

een_n = a_m + (N-m) d, waar een_m is een willekeurige term in de reeks zodanig dat n> m.

De reeks even getallen en de reeks oneven getallen zijn de eenvoudigste voorbeelden van rekenkundige reeksen, waarbij elke reeks een gemeenschappelijk verschil (d) van 2 heeft.

Het aantal termen in een reeks kan oneindig of eindig zijn. In het oneindige geval (n → ∞) neigt de reeks naar oneindig afhankelijk van het gemeenschappelijke verschil (a_n → ± ∞). Als het gemeenschappelijke verschil positief is (d> 0), neigt de reeks naar positieve oneindigheid en, als het gemeenschappelijke verschil negatief is (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

De som van de termen in de rekenkundige reeks staat bekend als de rekenkundige reeks: S_n= a₁ + een₂ + een₃ + een₄ + ⋯ + a_n = Σ_{i = 1 → n} een_ik; en S_n = (n / 2) (a₁ + een_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] geeft de waarde van de reeks (S_n).

Meer over geometrische reeks (geometrische vooruitgang)

Een geometrische reeks wordt gedefinieerd als een reeks waarin het quotiënt van elke twee opeenvolgende termen een constante is. Dit staat ook bekend als geometrische progressie.

Geometrische reeks ⇒ a₁, een₂, een₃, een₄,… , een_n; waar een₂/een₁ = r, a₃/een₂ = r, enzovoort, waarbij r een reëel getal is.

Het is gemakkelijker om de geometrische reeks weer te geven met de algemene verhouding (r) en de beginterm (a). Vandaar de geometrische reeks ⇒ a₁, een₁r, a₁r², een₁r³,… , een₁r^n-1.

De algemene vorm van de n^th voorwaarden gegeven door een_n = a₁r^n-1. (Verliezen van het subscript van de beginterm ⇒ a_n = ar^n-1)

De geometrische reeks kan ook eindig of oneindig zijn. Als het aantal termen eindig is, wordt gezegd dat de reeks eindig is. En als de termen oneindig zijn, kan de reeks oneindig of eindig zijn, afhankelijk van de verhouding r. De gemeenschappelijke verhouding beïnvloedt veel van de eigenschappen in geometrische reeksen. 

r> o	0 < r < +1	De reeks convergeert - exponentieel verval, d.w.z.n → 0, n → ∞
	r = 1	Constante reeks, d.w.z.n = constant
	r> 1	De sequentie divergeert - exponentiële groei, d.w.z.n → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	De reeks is oscillerend, maar convergeert
	r = 1	De volgorde is afwisselend en constant, d.w.z. eenn = ± constant
	r < -1	De reeks is afwisselend en divergeert. d.w.z.n → ± ∞, n → ∞
r = 0	De reeks is een reeks nullen

N.B: In alle bovenstaande gevallen, a₁ > 0; als een₁ < 0, the signs related to a_n zal worden omgekeerd.

Het tijdsinterval tussen de bounces van een bal volgt een geometrische reeks in het ideale model en het is een convergente reeks.

De som van de termen van de geometrische reeks staat bekend als een meetkundige reeks; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = Σ_{i = 1 → n} ar^ik. De som van de geometrische reeksen kan worden berekend met behulp van de volgende formule.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); waar a de beginterm is en r de verhouding.

Als de verhouding, r ≤ 1, de reeks convergeert. Voor een oneindige reeks wordt de waarde van convergentie gegeven door S_n = a / (1-r) 

Wat is het verschil tussen rekenkundige en geometrische volgorde / progressie?

• In een rekenkundige reeks hebben twee opeenvolgende termen een gemeenschappelijk verschil (d) terwijl, in geometrische volgorde, elke twee opeenvolgende termen een constant quotiënt hebben (r).

• In een rekenkundige volgorde is de variatie van de termen lineair, dat wil zeggen dat er een rechte lijn getrokken kan worden die door alle punten loopt. In een meetkundige reeks is de variatie exponentieel; hetzij groeien of rotten op basis van de gemeenschappelijke ratio.

• Alle oneindige rekenkundige reeksen zijn divergerend, terwijl oneindige meetkundige reeksen divergerend of convergent kunnen zijn.

• De geometrische reeks kan oscillatie vertonen als de verhouding r negatief is, terwijl de rekenkundige reeks geen oscillatie vertoont