Verschil tussen gedefinieerde en onbepaalde integralen

Calculus is een belangrijke tak van de wiskunde, en differentiatie speelt een cruciale rol in calculus. Het inverse proces van de differentiatie staat bekend als integratie, en de inverse staat bekend als de integraal, of simpel gezegd, de inverse van differentiatie geeft een integraal. Op basis van de resultaten die ze produceren, zijn de integralen verdeeld in twee klassen, namelijk definitieve en onbepaalde integralen.

Zeker integraal

De definitieve integraal van f (x) is een NUMMER en vertegenwoordigt het gebied onder de curve f (x) van x = a naar x = b.

Een bepaalde integraal heeft boven- en ondergrenzen voor de integralen, en hij wordt definitief genoemd omdat er aan het einde van het probleem een ​​getal is - het is een definitief antwoord.

Onbepaalde integraal

De onbepaalde integraal van f (x) is een FUNCTIE en beantwoordt de vraag, "Welke functie wanneer gedifferentieerd geeft f (x)?”

Met een onbepaalde integraal zijn er hier geen boven- en ondergrenzen op de integraal, en wat we zullen krijgen is een antwoord dat nog steeds bestaat Xzit erin en heeft ook een constante (meestal aangeduid met C) in het.

Onbepaalde integraal geeft meestal een algemene oplossing voor de differentiaalvergelijking.

Onbepaalde integraal is meer een algemene vorm van integratie en kan worden geïnterpreteerd als het anti- derivaat van de beschouwde functie.

Stel een differentiatie van functie F leidt naar een andere functie f, en de integratie van f geeft de integraal. Symbolisch is dit geschreven als

F (x) = ∫ƒ (x) dx

of

F = ∫ƒ dx

waar beide F en ƒ zijn functies van X, en F is differentieerbaar. In de bovenstaande vorm wordt het een Reimann-integraal genoemd en de resulterende functie begeleidt een willekeurige constante.

Een onbepaalde integraal produceert vaak een familie van functies; daarom is de integraal onbepaald.

Integrals en integratieproces vormen de kern van het oplossen van differentiaalvergelijkingen. In tegenstelling tot de stappen in differentiatie, volgen de stappen in integratie echter niet altijd een duidelijke en standaardroutine. Af en toe zien we dat de oplossing niet expliciet kan worden uitgedrukt in termen van elementaire functie. In dat geval wordt de analytische oplossing vaak gegeven in de vorm van een onbepaalde integraal.

Fundamentele stelling van calculus

De definitieve en de onbepaalde integraal zijn als volgt verbonden aan de Fundamentele Stelling van de Calculus: om een bepaalde integraal, vind de onbepaalde integraal (ook bekend als het anti- derivaat) van de functie en evalueren op de eindpunten x = a en x = b.

Het verschil tussen definitieve en onbepaalde integralen zal duidelijk zijn als we de integralen voor dezelfde functie evalueren.

Beschouw de volgende integraal:

OK. Laten we ze allebei doen en het verschil zien.

Voor integratie moeten we er een toevoegen aan de index die ons naar de volgende uitdrukking leidt:

Op dit moment C is slechts een constante voor ons. Aanvullende informatie is nodig in het probleem om de precieze waarde van te bepalen C.

Laten we dezelfde integraal evalueren in zijn definitieve vorm, d.w.z. met de bovenste en onderste limieten inbegrepen.

Grafisch gesproken berekenen we nu het gebied onder de curve f (x) = y³ tussen y = 2 en y = 3.

De eerste stap in deze evaluatie is dezelfde als de onbepaalde integraalevaluatie. Het enige verschil is dat we deze keer de constante niet toevoegen C.

De uitdrukking in dit geval ziet er als volgt uit:

Dit is beurt leidt tot:

In wezen hebben we 3 en vervolgens 2 in de expressie vervangen en het verschil tussen hen verkregen.

Dit is de definitieve waarde in tegenstelling tot het gebruik van constant C vroeger.

Laten we de constante factor (met betrekking tot onbepaalde integraal) in meer detail verkennen.

Als het verschil van Y³ is 3j², dan

∫3j²dy = y³

Echter, 3j² zou het verschil kunnen zijn van vele uitdrukkingen waarvan sommige zijn inbegrepen Y³-5, Y³+7, enz ... Dit impliceert dat de omkering niet uniek is, omdat de constante tijdens de bewerking niet wordt vermeld.

Dus in het algemeen, 3j² is het verschil van Y³+C waar C is een constante. Overigens staat C bekend als de 'constante van integratie'.

We schrijven dit als:

∫ 3j².dx = y³ + C

Integratietechnieken voor een onbepaalde integraal, zoals tabelopzoeking of Risch-integratie, kunnen nieuwe discontinuïteiten toevoegen tijdens het integratieproces. Deze nieuwe discontinuïteiten verschijnen omdat de anti- derivaten de introductie van complexe logaritmen kunnen vereisen.

Complexe logaritmen hebben een jump-discontinuïteit wanneer het argument de negatieve reële as kruist en de integratie-algoritmen kunnen soms geen representatie vinden waar deze sprongen annuleren.

Als de definitieve integraal wordt geëvalueerd door eerst een onbepaalde integraal te berekenen en vervolgens de integratiegrenzen in het resultaat te vervangen, moeten we ons ervan bewust zijn dat onbepaalde integratie discontinuïteiten kan produceren. Als dat zo is, moeten we bovendien de discontinuïteiten in het integratie-interval onderzoeken.