Verschil tussen echte getallen en gehele getallen

Wiskundigen hebben systemen ontwikkeld om te specificeren hoe een bepaald getal verschilt van een ander. Net als bij andere concepten overlappen cijfercategorieën elkaar. Omdat reële getallen alle rationale getallen bevatten, zoals de gehele getallen, delen ze vergelijkbare kenmerken, zoals het gebruik van hele getallen en geplot op de getallenlijn. Daarom is het belangrijkste verschil dat reële getallen een algemene classificatie zijn, terwijl gehele getallen een subset is die wordt gekenmerkt als gehele getallen die negatieve eigenschappen kunnen hebben.

Wat zijn echte getallen?

Reële getallen zijn de waarden die u kunt vinden op de getallenlijn, meestal uitgedrukt als een geometrische horizontale lijn waar een gekozen punt fungeert als de "oorsprong". Degenen die aan de rechterkant vallen, worden als positief gemarkeerd, terwijl die aan de linkerkant negatief zijn. De beschrijving "echt" werd gepresenteerd door Rene Descartes, een beroemde wiskundige en filosoof in de 17e eeuw. Hij bepaalde met name het verschil tussen de echte wortels van Polynomials en hun denkbeeldige wortels.

Echte getallen omvatten hele, gehele getallen, natuurlijke, rationele en irrationele getallen:

• Hele getallen

Hele getallen zijn positieve getallen die geen gebroken of decimale punten hebben, omdat ze hele objecten zonder fragmenten of stukjes vertegenwoordigen.

• integers

Gehele getallen zijn hele getallen die de negatieve kant van de getallenlijn bevatten.

• Natuurlijke cijfers

Ook wel bekend als telnummers, natuurlijke getallen zijn als hele getallen, maar nul is niet opgenomen omdat niets in principe kan worden geteld als "0".

• Rationele nummers

Met betrekking tot de oorsprong ervan, Pythagoras, verklaarde de oude Griekse wiskundige dat alle getallen rationeel waren. Rationale getallen zijn de quotiënten of de breuken van twee gehele getallen. Waar p en q beide gehele getallen zijn en q niet gelijk is aan nul, is p / q een rationaal getal. 3/5 is bijvoorbeeld een rationeel getal, maar 3/0 is dat niet.

• Irrationele nummers

Pythagoras 'student, Hippasus was het er niet mee eens dat alle getallen rationeel waren. Door geometrie bewees hij dat sommige getallen irrationeel waren. De vierkantswortel van twee, die 1,41 is, kan bijvoorbeeld niet worden uitgedrukt als een breuk; daarom is het irrationeel. Helaas werd de actualiteit van rationale getallen door de aanhangers van Pythagoras niet aanvaard. Dit resulteerde in de verdrinking van Hippasus op zee, waarvan werd beweerd dat het in die tijd een straf van de goden was.

Wat zijn gehele getallen?

Van het Latijnse woord "integer", wat zich vertaalt naar "geheel" of "onaangeroerd", hebben deze getallen geen breuken of decimale componenten, net als hele getallen. De getallen bevatten positieve natuurlijke getallen of de telnummers en hun negatieven. Bijvoorbeeld -3, -2, -1, 0, -1, 2, 3 zijn gehele getallen. De gebruikelijke illustratie is gelijk verdeelde nummers op een oneindige cijferlijn met nul, die noch positief noch negatief is, in het midden. Vandaar dat de positieven groter zijn dan de negatieven.

Wat betreft de geschiedenis, volgen de volgende accounts hoe integers het eerst werden gebruikt:

• In 200 B.C. negatieve getallen werden voor het eerst vertegenwoordigd met rode staven in het oude China.
• Rond 630 na Christus werden negatieve cijfers gebruikt om de schuld in India weer te geven.
• Arbermouth Holst, een Duitse wiskundige introduceerde gehele getallen in 1563 als systeem in aanvulling en vermenigvuldiging. Hij ontwikkelde het systeem als een reactie op het toenemende aantal konijnen en olifanten waarop hij aan het experimenteren was.

Het volgende zijn de kenmerken van gehele getallen:

• Positief

De cijfers aan de rechterkant van de getallenlijn zijn positief en vertegenwoordigen vaak de hogere waarde van hun negatieve tegenhangers.

• Negatief

De getallen aan de linkerkant van de getallenlijn worden vaak als de mindere standaardwaarde van hun positieve tegenhangers beschouwd.

• Neutrale

Het midden van de getallenlijn, nul is het gehele getal dat noch positief noch negatief is.

• Geen fragmenten

Net als hele getallen hebben gehele getallen geen decimalen of breuken.

Verschil tussen echte getallen en gehele getallen

Reikwijdte van echte getallen en gehele getallen

Echte getallen omvatten gehele getallen, rationele, irrationele, natuurlijke en gehele getallen. Aan de andere kant is de reikwijdte van gehele getallen vooral gericht op hele getallen die negatief en positief zijn. Vandaar dat reële getallen algemener zijn.

fracties

Echte getallen kunnen breuken bevatten zoals rationele en irrationele getallen. Breuken kunnen echter geen gehele getallen zijn.

Minste-bovenste-gebonden Eigenschap

Reële getallen hebben de eigenschap 'least-upper-bound-', ook wel 'volledigheid' genoemd. Dit betekent dat een lineaire set van reële getallen subsets heeft met supremumkwaliteiten. Integers hebben integendeel niet het minst-boven-gebonden eigendom.

Archimedisch eigendom

De Archimedische eigenschap, die ervan uitgaat dat er een natuurlijk getal is dat gelijk is aan of groter is dan een reëel getal, kan worden toegepast op reële getallen. Integendeel, de Archimedische eigenschap kan niet worden toegepast op gehele getallen.

Veld

Echte getallen zijn een soort veld dat een essentiële algebraïsche structuur is waar rekenkundige processen worden gedefinieerd. Integendeel, integers worden niet als een veld beschouwd.

telbaar

Als een set zijn echte getallen ontelbaar, terwijl gehele getallen telbaar zijn.

Symbolen van echte getallen en gehele getallen

Echte getallen worden gesymboliseerd als "R" terwijl een verzameling van gehele getallen wordt aangeduid als "Z". N. Bourbaki, een groep Franse wiskundigen in de jaren 1930, heeft "Z" van het Duitse woord "Zahlen" opgegeven, wat getal of gehele getallen betekent.

Woordherkomst voor echte getallen en gehele getallen

Reële getallen duidden de echte wortels van een polynoom aan, terwijl integer was van het Latijnse woord "geheel" omdat ze geen decimalen of breuken bevatten.

Echte getallen versus gehele getallen

Samenvatting van echte getallen versus gehele getallen

• Zowel reële getallen als gehele getallen kunnen worden geplot op de getallenlijn.
• Gehele getallen is een subset van reële getallen.
• Gehele getallen hebben een negatief getal.
• Als set hebben reële getallen een algemenere reikwijdte in vergelijking met gehele getallen.
• In tegenstelling tot gehele getallen, kunnen reële getallen breuken en decimale punten bevatten.
• Eigenschappen van het minst-gebonden, Archimedisch en veld zijn over het algemeen van toepassing op reële getallen, maar niet op gehele getallen.
• In tegenstelling tot reële getallen, zijn gehele getallen strikt telbaar.
• "R" staat voor echte cijfers, terwijl "Z" voor gehele getallen is.